Сходимость ряда

[Бодигрим]

Как исследовать сходимость ряда

$$ \sum_{k=1}^\infty {1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)\over 2^k k!} {1\over2k+1} ? $$

[citadeldimon]

Признак Даламбера или Раабе пробовали?

[Cave]

Например, с помощью формулы Стирлинга можно показать, что $\frac {1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{ 2^k k!} \sim \frac 1 {\sqrt{\pi k}}$, дальше сравнение с гармоническим.

[Бодигрим]

Пробовал признак Даламбера. Получается

$$ {a_{n+1}\over a_n}={2k+1\over 2k+2}\cdot {2k+1\over 2k+3}\to 1\quad (k\to\infty). $$

Я что-то делаю не так?

-- 22:33 19.05.2009 --

Cave в сообщении #215402 писал(а):

Например, с помощью формулы Стирлинга можно показать, что $\frac {1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{ 2^k k!} \sim \frac 1 {\sqrt{\pi k}}$, дальше сравнение с гармоническим.

В этом курсе считается, что формулу Стирлинга мы еще не знаем. Хотелось бы обойтись более стандартными приемами.

[citadeldimon]

Бодигрим в сообщении #215403 писал(а):

Я что-то делаю не так?

Все так, просто признак Даламбера не дает ответа . Пробуйте признак Раабе

$\lim\limits_{n\to+\infty}(\frac {a_n}{a_{n+1}}-1)>1$ - значит сходится, и наоборот.

У меня вышло что ряд расходится.

[Бодигрим]

citadeldimon в сообщении #215416 писал(а):

$\lim\limits_{n\to+\infty}(\frac {a_n}{a_{n+1}}-1)>1$ - значит сходится, и наоборот.

М-м, может быть $\lim\limits_{n\to+\infty}n(\frac {a_n}{a_{n+1}}-1)>1$? Тогда у меня получается что-то в духе $3>1$ и ряд расходится. Спасибо.

[citadeldimon]

Бодигрим в сообщении #215417 писал(а):

М-м, может быть ?

Действительно, описка

[venco]

А Wolfram Alpha говорит, что сумма равна $\pi/2$.

-- Вт май 19, 2009 17:48:33 --

При суммировании с нуля.

[RIP]

venco в сообщении #215428 писал(а):

А Wolfram Alpha говорит, что сумма равна $\pi/2$.

Видимо, суммирует по Абелю:

$$\lim_{z\to1-0}\sum_0^\infty\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}\frac{z^n}{2n+1}=\lim_{z\to1-0}\frac{\arcsin\sqrt z}{\sqrt z}=\frac\pi2.$$