Парадокс маляра

[Numismaticus]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Однажды я наткнулся в какой-то книге на любопытный математический парадокс о том, что фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить конечным количеством краски. Я в нем так и не смог найти ошибку/подвох/объяснение. Написал статью в Википедию. Через некоторое время там появилось объяснение парадокса, но до сих пор меня оно не очень устраивает.

Может быть сообщество этого форума сможет разобраться в этом любопытном противоречии.

Приведу полный текст статьи:

Цитата:

Парадокс маляра́ — математический парадокс, утверждающий, что фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить конечным количеством краски.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку, состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 x 2 см, а каждый следующий вдвое у́же и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см², а общая площадь пластинки бесконечна.

Чтобы всю её покрасить, потребуется бесконечное (по объёму или массе) количество краски. Рассмотрим тело, получаемое при вращении пластинки вокруг её прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота $ k $-го цилиндра равна $ 2^{k-1} $ см, радиус — $ 2^{1-k} $ см, а значит, его объём равен $ 2^{1-k} \pi $ см³. Таким образом, объёмы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2$ \pi $ см³.

Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него данную бесконечную пластинку и вытащим; она будет окрашена конечным количеством краски с двух сторон.

Разрешение парадокса

Утверждение «для того, чтобы покрасить фигуру бесконечной площади, необходимо бесконечное количество краски» исходит из того, что фигура покрывается слоем краски одинаковой толщины.

Предлагаемый же способ окраски предполагает, что каждый следующий сегмент будет покрыт всё более тонким слоем, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в 1 см², будет сходиться к конечному значению.

Извините, если что-то неправильно оформил

[Xaositect]

А что вам не нравится в объяснении?
На каждом следующем прямоугольнике толщина слоя краски будет меньше - вот и получается сходящийся ряд.

[Nxx]

Покрасить равномерным слоем краски фигуру бесконечной площади невозможно. Это не значит, что нельзя покрасить неравномерным слоем. Ведь в условии задачи нигде не говорится, какую толщину должен иметь слой краски.

[maxal]

Более подробно в английской вики: http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel%27s_Horn

[LetsGOX]

Помимо прочего, этот парадокс физически необоснован
Во-первых, ширина каждой пластинки уменьшается с каждым разом в 2 раза, т.е за n уменьшений изменяется один порядок степени (Это n более 3 и менее 4, те за 4 шага было $1$, а становится $0,625\cdot 10^{-1}$), и таким образом на некотором шаге ширина станет меньше Планковской и такой размер не будет существовать, и пластинка закончится
Во-вторых, начиная с некоторого размера циллиндра, несмотря на давлений вышестоящих слоев краски, краска просто перестанется заливаться в тонкий цилиндр, вследствие капиллярных законов жидкостей

[Бодигрим]

LetsGOX в сообщении #214664 писал(а):

Помимо прочего, этот парадокс физически необоснован

А при чем здесь физическая необоснованность? Вы бы еще парадокс Банаха-Тарского в ней обвинили. Понятно, что все это некоторые абстрактные конструкции, имеющие (бесконечно?) малое отношение к физическому миру.

[G00gle]

Математически все правильно. По, как уже было сказано, толщина слоя не может быть меньше диаметра молекулы краски. Поэтому если взять некую фигуру с конечной площадью S на этой бесконечной поверхности и умножить ее на толщину слоя (диаметр молекулы), то получится некоторый объем V. Так как таких конечных площадей бесконечно много, то объем краски тоже будет бесконечным. Но в математике можно разделить фигуру (тело) на сколь угодно малые части, поэтому, как уже было сказано, все верно. Поэтому я не люблю аналогии. Нельзя было так просто переносить идеализированные понятия геометрии в наш реальных мир. Это, как совершить неравносильный переход, при котором часть решений исходного уравнения теряется, а в некоторых случаях появляются другие решения.

[gris]

А почему красить нужно молекулярной краской? Возьмем нейтронную краску и вот уже толщина слоя уменьшится в миллион раз. А можно и струнами красить. А там, глядишь, и что-нибудь меньше планковской длины обнаружится.

[G00gle]

gris в сообщении #214987 писал(а):

А почему красить нужно молекулярной краской? Возьмем нейтронную краску и вот уже толщина слоя уменьшится в миллион раз. А можно и струнами красить. А там, глядишь, и что-нибудь меньше планковской длины обнаружится.

Но в любом случае, даже если мы кварковой краской красить будем, то все равно минимальная толщина слоя будет кварк! Еще раз повторяю, что краска - это неудачная аналогия.

[gris]

А я ничего интересного не вижу в этом парадоксе.
На плоскости можно построить хоть сто фигур конечной площади с гладкой границей бесконечной длины. Даже ограниченных.
Вот если бы удалось построить фигуру (тело) бесконечной площади (объёма) с конечной гладкой границей...

[LetsGOX]

gris Ну понимаете, дело в том что в описании парадокса оперируются так сказать физическими терминами, те намекаются что это парадокс реального мира
Помимо того, что всегда найдется меньший размер, который физически бессмысленен, даже если рассматривать теорию суперструн или М-теорию (Знаете физически бессмысленные величины: $10^10$м/c, $10^{-100}$м и тд и тп)
Также добавлю две вещи - в очень тонкий слой нельзя будет налить краску либо вследстиве капиллярных законов (При нормальных размерах), либо вследствие того что молекулы будут взаимодейтвовать сильнее чем действует на них сила тяжести (При молекулярых размерах)
Я не говорю еще о куче других моментов

[gris]

LetsGOX, для реального мира достаточно уже бесконечной длины сосуда.
Даже если предположить неограниченность вселенной, потребуется бесконечное время, чтобы всю пластину всунуть в сосуд. Скорость всовывания всё-таки ограничена скоростью света.
А про силу тяжести Вы хорошо сказали. Какая сила тяжести на расстоянии 20 квадриллионов световых лет от Земли?

[LetsGOX]

gris Так я и сказал, что молекулярное притяжения сильнее сили тяжести и силы давления других слоев, поэтому жидкость (В намшем случае пара молекул) дальше не польется (Даже если на нее будет давить весь напор предыдущих слоев изза некоторой силы вливания)

[gris]

LetsGOX, а как Вы собираетесь без силы тяжести вливать жидкость в сосуд? С помощью поршня? А чем тогда был заполнен сосуд до вливания?

[LetsGOX]

gris Тут сплошная физическая абстракция - если я нечну развивать это будет offtop