Полином!

[daogiauvang]

Пусть

$$P(x) =a_0x^{2009} + a_1x^{2008}+\dots + a_{2009} $$

причем $|P(x)| \leq 1 $ для всех

$$x \in [0,2009]$$

Доказать,что

$$P(-1) \leq 2^{2010}-1 $$

Когда равенство мы получим?
есть значок модуля !

я считал и получил $ P(-1) \leq 2^{2009} < 2^{2010}-1$
когда будет равенство?

[TOTAL]

$$P(x) =-2^{3000}x^{2009}$$

[Хорхе]

Там модуль часом не пропущен?

[mihiv]

Запишем для $P(x)$ интерполяционный полином Лагранжа $ (n=2009), P(x)= \sum \limits_{i=0}^n P(i) \frac{(x-0) \dots(x-(i-1))(x-(i+1)) \dots(x-n)}{(i-0) \dots (i-(i-1))(i-(i+1)) \dots (i-n)}$.Подставляем сюда $x=-1$ и получим $P(-1)=(-1)^n \sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}P(i)C_{n+1}^{i+1}$.Отсюда неравенство $|P(-1)| \leqslant 2^{n+1}-1$.Равенство будет ,если выбрать $P(i)=(-1)^{n-i}$.

[TOTAL]

mihiv в сообщении #214991 писал(а):

Равенство будет ,если выбрать $P(i)=(-1)^{n-i}$.

Так выбирать нельзя, т.к. нарушится условие.

[mihiv]

To Total
Действительно при таком выборе нарушится условие $|P(x)| \leqslant 1$ для $x \in [0,2009]$, поэтому справедливо строгое неравенство $|P(-1)|< 2^{n+1}-1$.

[TOTAL]

$n=2009$
То же самое получается из $(T-E)^{n+1}P(x)=0$ при $x=-1,$ где $(T-E)P(x)=P(x+1)-P(x)$

Вроде бы точнее оценка получается из $(T-E)^{n}P(x)=n!a_0,$
где $a_0$ не может быть большим (меньше соответствующего коэффициента полинома Чебышёва для $[0, 2009]$)