Фундаментальные свойства степеней

[Petern1]

maxal

Ваши доводы подсказали мне что надо ответить. Больше чем благодарен Вам.
Вы и другие в выражении
$5bc(b^3+2b^2c+2bc^2+c^3)=(b-c)(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)$
$x$ и $c$ рассматриваете произвольно, не в связи с их, так сказать, происхождением. И, конечно, Вы правильно говорите и я с Вами согласен.
Но давайте рассмотрим каково соотношение между $x$ и $c$ в полученных выкладках. Что больше, что меньше? И рассмотрим на примере кубов. Напрашивается такая фраза.
Может ли быть куб разности оснований больше, или равен разности кубов этих оснований.
$(a-b)^3=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$(a-b)^2=a^2+ab+b^2$, $a^2-2ab+b^2=a^2+ab+b^2$. Или
$0=3ab$. Видим число слева меньше числа справа, значит куб разности оснований меньше разности кубов. Но проделаем это с применением $c$ и $x$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2$ , $a-b=c , a=b+c$
$a^3-b^3=c(3b^2+3bc+c^2)$ Число справа сравниваем с $c^3$
$c(3b^2+3bc+c^2)=c^3$---это не утверждение, это предположение.
$3b^2+3bc+c^2=c^2 , 3b^2+3bc=0$. Видим, что $c^3$ меньше, чем $c(3b^2+3bc+c^2)$. Поэтому, если
$c(3b^2+3bc+c^2)=x^3$, то $x$ БОЛЬШЕ!!! $c$. И чтобы $x-c$ делилось на $c$, то должно быть только такое соотношение
$x=x_1c$, и не может быть такого $c=c_1x$.
Уважаемый maxal, убедительно прошу дать знать удовлетворены ли Вы этим ответом. И еще, Мне часто приходиться отлучаться из дома, поэтому я не могу давать быстрые ответы. Прошу меня извинить

[maxal]

Petern1
Отношения больше-меньше между $x$ и $c$ здесь также недостаточно для делимости.
Например, модифицируя мой предыдущий пример, пусть $x=z t^2$ и $c=z^2 t$, где $t > z$ взаимно-простые числа (вот численный пример: $x=3\cdot 5^2= 75$ и $c=3^2\cdot 5=45$).
Тогда $x^3$ делится на $c$, но $x$ не делится на $c$.

[Someone]

LetsGOX в сообщении #214508 писал(а):

Мат в сообщении #210198 писал(а):

$5xy(x^2-xy+y^2)=(x+y)^5-z^5$

А z получается целым числом чтоли?

shwedka Автор хотя бы доказывает, а вы постоянно безосновательно критикуете доказательсва, был бы сейчас МАТ, он бы помог доказать

А Вы хотя бы понимаете, о чём идёт разговор? Вы не согласны с тем, что говорит shwedka? Приведите доказательство вместо Petern1.

[LetsGOX]

Someone Понимаю ли я? Я не матиматик Но догадываюсь, что речь идет о ВТФ и диофантовых уравнениях вообще
Знаете есть такая математический прикол, когда с помощью вычислений получают, что 2=1 Разве это можно считать правдой $a=b$ $a^2=ab$ $a^2-b^2=ab-b^2$ $(a+b)(a-b)=b(a-b)$ $a+b=a$ $a+a+b=a+b$ $a+a=a$ $2a=a$ $2=1$
А вот у автора Petern1 в рассчетах вроде бы все равно, хотя много цифор

[Petern1]

venco

Вы затронули очень важный вопрос. Но прошу Вас посмотреть аналогичное место у кубов. Там
$A_3=3b(b+1)+1$
$a^3=(a-1)a(a+1)+a$. Здесь я так же утверждал, что поскольку $A_3$ не имеет произведения трех последовательных чисел, то оно не может быть равно кубу. Но ни кто из участников форума не возразил против этого. А как Ваше мнение?

[Someone]

LetsGOX в сообщении #215044 писал(а):

Someone Понимаю ли я? Я не матиматик Но догадываюсь, что речь идет о ВТФ и диофантовых уравнениях вообще
Знаете есть такая математический прикол, когда с помощью вычислений получают, что 2=1 Разве это можно считать правдой $a=b$ $a^2=ab$ $a^2-b^2=ab-b^2$ $(a+b)(a-b)=b(a-b)$ $a+b=a$ $a+a+b=a+b$ $a+a=a$ $2a=a$ $2=1$
А вот у автора Petern1 в рассчетах вроде бы все равно, хотя много цифор

Объясню. Очень долго всё обсуждение топчется на утверждении, которое Petern1 считает самоочевидным: если число $x^3$ делится на число $c$, то и число $x$ делится на число $c$. Ему долго и безуспешно пытаются втолковать, что это утверждение, в общем случае, неверно, демонстрируя соответствующие контрпримеры, и требуют предъявить доказательство для того случая, в котором он его использует. Но Petern1 доказательство не предъявляет.

[Petern1]

maxal

Все что Вы говорите и правильно и мне совершенно понятно. Но позвольте. Вы ведете речь о делимостях, или не делимостях вообще. А надо же рассматривать конкретное равенство, которое у нас получилось (для кубов)
$3bc(b+c)=(x-c)(x^2+xc+c^2)$. Это равенство обязывает нас сказать такие слова: что если это равенство действительно имеет место, то $(x-c)$ должно делиться на $c$. Значит мы вправе записать $(x-c)=cp$. Тогда $x=cp+c=c(p+1)$. Или, что тоже самое, $x=x_1c$. Неужели тут есть какая-то ошибка, или заблуждние? Зачем надо придумывать разные варианты о делимостях? Все же просто до прозрачного, maxal!

[venco]

Petern1 в сообщении #215047 писал(а):

venco

Вы затронули очень важный вопрос. Но прошу Вас посмотреть аналогичное место у кубов. Там
$A_3=3b(b+1)+1$
$a^3=(a-1)a(a+1)+a$. Здесь я так же утверждал, что поскольку $A_3$ не имеет произведения трех последовательных чисел, то оно не может быть равно кубу. Но ни кто из участников форума не возразил против этого. А как Ваше мнение?

Зачем мне рассматривать кубы, если на примере квадратов я показал, что ваши рассуждения не верны.
А ошибка там подобна той, что с делимостью $c^3$ на $x$, на которую вам неоднократно указали.
В данном случае, по три множителя с разных сторон равенства $3b(b+1)+1 = (a-1)a(a+1)+a$ вовсе не означают, что $3=a-1$, $b=a$, а $b+1=a+1$, особенно если учесть, что у нас есть ещё разные слагаемые.

[maxal]

Petern1 в сообщении #215066 писал(а):

$3bc(b+c)=(x-c)(x^2+xc+c^2)$. Это равенство обязывает нас сказать такие слова: что если это равенство действительно имеет место, то $(x-c)$ должно делиться на $c$.

Это утверждение совсем неочевидное и требует доказательства. Вы его не доказали - все ваши предыдущие "доказательства" содержали ошибки.

[venco]

Petern1 в сообщении #215066 писал(а):

$3bc(b+c)=(x-c)(x^2+xc+c^2)$. Это равенство обязывает нас сказать такие слова: что если это равенство действительно имеет место, то $(x-c)$ должно делиться на $c$.

Petern1, возьмите $x=6$, $c=4$:
При этом $x-c$ не делится на $c$, тем не менее $(x-c)(x^2+xc+c^2)$ делится на $c$.

[Petern1]

Someone

Читайте мой ответ maxal.

[shwedka]

Petern1 в сообщении #215066 писал(а):

А надо же рассматривать конкретное равенство, которое у нас получилось (для кубов)
$3bc(b+c)=(x-c)(x^2+xc+c^2)$. Это равенство обязывает нас сказать такие слова: что если это равенство действительно имеет место, то $(x-c)$ должно делиться на $c$.

Я сейчас в отъезде,
в Лондоне. Но даже отсюда видно,
что доказательства последнего утверждения Вы не предъявляете

[Petern1]

venco

Вы предложили рассмотреть случай, когда $x$ и $c$ изначально не взаимно просты $x=2*3=6$,$c=2^2$. В общем виде Вы предлагаете $x=p_1p_2$, а $c=p_1^2$. Подставим эти значения в равенство
$3bc(b+c)=(x-c)(x^2+xc+c^2)$. Получим
$3bp_1^2(b+p_1^2)=(p_1p_2-p_1^2)(p_1^2p_2^2+p_1p_2p_1^2+p_1^4$.
$3bp_1^2(b+p_1^2)=p_1(p_2-p_1)p_1^2(p_2^2+p_2p_1+p_1^2$. Сокращаем на $p_1^2$
$3b(b+p_1^2)=p_1(p_2-p_1)(p_2^2+p_2p_1+p_1^2$. Справа появился множитель $p_1$, слева его нет. На этом месте можно было бы сказать, что равенство не состоялось. Но можно порассуждать и дальше. И обязать $b$ делиться на $p_1$ т. е., чтобы $b=b_1p_1$. Но тогда $b$ будет не взаимно простым с $c$. И далее $a-b=c, a-b_1p_1=p_1^2, a=p_1(b_1-p_1)$. Получилось, что и $a$ должно делиться на $p_1$, и быть не взаимно простым с $b$. А это противоречит исходному требованию $a$ и $b$ взаимно просты. Вот такой получается расклад по этому случаю.
Продолжение разговора дня через 3—4. Убываю, извините.

[LetsGOX]

Someone Ах вот оно что - спасибо огромное за разъяснение
Однако как мне показалось, автор не считает этот факт абсолютным (Что если $c|x^3$, то и $c|x$), а применяет его для конкретного одного случая
Если это не так, то я с вам соглашусь на 100%, что тема стала бесполезной

[venco]

Petern1 в сообщении #215138 писал(а):

venco

Вы предложили рассмотреть случай, когда $x$ и $c$ изначально не взаимно просты $x=2*3=6$,$c=2^2$. В общем виде Вы предлагаете $x=p_1p_2$, а $c=p_1^2$

Это не общий вид. Опять вы рассматриваете частный случай.