Nilenbert
Очень жаль, что Вы отказываетесь ответить на мои обращения к Вам. И надо полагать потому, что возразить Вы не можете, а дать согласие не решаетесь. Но плохо вот что. Что ранее Вы сказали фразы: «

не делится на

,

не делится на

». Фразы, которые не имеют абсолютно ни какого отношения к моим выкладкам ( в огороде бузина, а в Киеве дядька. Слышали такое?). Так вот эти фразы выхватывают другие и бездумно выставляют как опровержение. При том от какой-то злобы и ярости пренебрегают элементарными принципами такта и вежливости. (Brukvalub)
Но я уверен, что среди участников форума все-таки найдутся трезвые головы, которые по достоинству оценят то, что изложено о кубах, и рассмотрят выкладки для пятых степеней.
Как и для кубов рассмотрим сначала может ли разность двух соседних чисел в 5-ой степени быть равна числу в 5-ой степени

Для краткости число во второй скобке обозначим


Это значение

подставим в

![$a^5-b^5=1*[(b+1)^4+(b+1)^3b+(b+1)^2b^2+(b+1)b^3+b^4]$ $a^5-b^5=1*[(b+1)^4+(b+1)^3b+(b+1)^2b^2+(b+1)b^3+b^4]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/2/0b2b63f70e5d6d9cad78c5919c1989d582.png)

. Это другое представление числа

И задаемся вопросом, может ли это число быть равно 5-ой степени,

. Число в скобке разделим на

, получим

, и запишем

. А теперь вспомним, что 5-ая степень любого числа представляется

. Здесь мы имеем произведение трех последовательных чисел , которое умножается на

, плюс среднее число из трех последовательных. Эта структура однозначно определяет каждую 5-ую степень. Полученная нами структура для

существенно отличается от этой. Как бы мы не пытались изменять

, мы не сможем получить такое же сочетание множителей, как у

. Поэтому нам придется признать, что числа

не равны 5-ой степени.
А теперь перейдем к рассмотрению разности любых 5-ых степеней ( не соседних).

,

взаимно простые числа. Обозначим

. Значение

подставим в

.

.

. И тогда

. Или

. И задаемся вопросом, может ли полученное выражение быть равно числу в 5-ой степени.

.


.
Слева есть множитель

, Значит он должен быть и справа. Справа, если

и

взаимно простые числа, то ни первый ни второй сомножители на

не делятся (см. аксиому). Поэтому множитель

справа может быть только в том случае, если

делится на

, другими словами, если

входит в

как сомножитель. Так что мы можем записать

. Таким образом получается, что

и

должны быть не взаимно простыми числами. Это обязывает полученное равенство, если оно верно. Подставим в него



. Сокращаем на


. Теперь уже слева

нет, а срава оно есть. Равенство не состоялость. Это свидетельство тому, что разность 5-ых степеней не может быть равна числу в 5-ой степени. Но равенство возможно, если

. Тогда

будут соседними числами. Случай рассмотрен выше.
Прошу участников форума высказать свои суждения, без предвзятостей и злобы. Petern1.