Найти производную z"_xy фции, заданной системой уравнений

[Nimza]

Необходимо найти

\[ \frac{{\partial ^2 z}} {{\partial x\partial y}} \]

, при условии, что

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {u = \ln (x - y + z),} \\ {v = e^{xz} } \\ \end{array} } \right. \]

и

\[ F(u,v) \equiv 0 \]

.
Второе условие похоже на подсказку. Для начала я нашел производные функции

\[ F(u,v) \]

по x,y и приравнял их к нулю как производные тождественно равной нулю функции по независимым переменным. Получил два уравнения с четырьмя неизвестными

\[ F'_u ,F'_v ,z'_x ,z'_y \]

. Откуда взять ещё два уравнения? Или, может, делать надо совсем другое?

[Brukvalub]

Функция F в такого рода задачах считается известной.

[Nimza]

То есть для решения задачи не хватает условий?

[PAV]

Мне кажется, что автору функция $F$ на самом деле известна, просто он нам ее не сообщил.

[Nimza]

К сожалению, нет. Задание в точности переписано с листочка заданий контрольной работы.

[Brukvalub]

Иногда в такого рода задачах используют абстрактное обозначение F, но тогда считается законным и правильным использовать производные этой функции как известные функции, которые не требуется искать.
А, вообще говоря, судя по вопросам, сегодня на форуме ощущается острая нехватка ЭКСТРАСЕНСОВ.

[Nimza]

Спасибо!

[Someone]

Это означает, что функция $F(u,v)$ предполагается известной. И требуется вывести формулу "в общем виде".

Могу порекомендовать следующий порядок действий.
1) Вычисляем $dF(u,v)$ и $d^2F(u,v)$, не предполагая $u$ и $v$ независимыми переменными.
2) Вычислить $du(x,y,z)$, $d^2u(x,y,z)$, $dv(x,y,z)$ и $d^2v(x,y,z)$, считая $x$ и $y$ независимыми переменными, а $z$ - функцией от $x$ и $y$.
3) Подставляем выражения первых дифференциалов, полученные в пункте 2), в равенство $dF(u,v)=0$, и выражаем оттуда $dz$.
4) Подставляем выражения дифференциалов, полученные в пунктах 2) и 3), в равенство $d^2F(u,v)=0$, и выражаем оттуда $d^2z$. Половина коэффициента при $dxdy$ и будет искомой смешанной производной $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$.

Может быть, кто-нибудь знает более быстрый способ получить эту производную.