Распределение и ...

[AD]

Ну просто пришла мысль, решил пофлеймить.

Зафиксируем какое-нибудь пространство с мерой $\bigl(X,\mathcal{M},\mu\bigr)$.
То есть, как всегда, $X$ --- множество, $\mathcal{M}$ --- $\sigma$-алгебра его подмножеств, $\mu:\mathcal{M}\to\mathbb{R}^+$ --- $\sigma$-аддитивная (быть может, даже вероятностная) мера.
Тогда всякой измеримой функции $f:X\to\mathbb{R}$ сопоставляется ее "функция распределения"
$F(y)=\mu\{x\in X:f(x)\leqslant y\}$.
Но $f$ обычно не восстанавливается однозначно по $F$.

Вопрос. Что бы еще такое сопоставить каждой измеримой функции $f$ (обозначим этот гипотетический объект буквой "$\textit{Щ}$"), чтобы $f$ однозначно восстанавливалась по паре $(F,\textit{Щ})$, но в то же время буква $\textit{Щ}$ была не слишком перегружена - то есть чтобы выражала свойства $f$, имеющие как можно меньшее отношение к распределению $f$.

Ну то есть в идеале - чтобы было совсем прямое произведение, но этого, скорее всего, не будет.

[--mS--]

А разве что-либо кроме $\textit{Щ}=f$ может помочь восстановить функцию $f$?

[AD]

Ну вот, думая мысль дальше, такой пример придумал.

Пусть у нас стоит такое ограничение, что каждая функция $f$ принимают, скажем, ровно два значения $y_1(f)$ и $y_2(f)$, где $y_1(f)>y_2(f)$. Тогда если мы в качестве $\textit{Щ}$ возьмем упорядоченную пару множеств $\bigl(A=\{x\in X:f(x)=y_1(f)\},B=\{x\in X:f(x)=y_2(f)\}\bigr)$, то функция $f$ не восстанавливается однозначно ни по $F$, ни по $\textit{Щ}$, но легко восстанавливается по паре $(F,\textit{Щ})$.

Однако мы при этом всё равно храним немного лишней информации. А именно, меры множеств $A$ и $B$ можно узнать и по $\textit{Щ}$ (непосредственно померяв), и по $F$ (измерив величину скачков).

Далее, если мы захотим это обобщить на случай не более чем двух значений, то выбор $\textit{Щ}$ перестает быть однозначным (ну или еще что-нибудь плохое будет).

Вообще, кажется, я уже почти придумал.

-- Пн май 18, 2009 09:19:38 --

То есть для всех функций, принимающих конечное число значений, достаточно хранить $\textit{Щ}=\bigl(n,A_1,\ldots,A_n)$, где $n\in\mathbb{N}$ - число значений, а $A_i$ - множества, где принимается $i$-е по убыванию (ну или по возрастанию) значение. А вот с бесконечнозначными функциями уже труднее - даже вроде бы порядковый тип вместо $n$ хранить не достаточно, так как изоморфизм будет неоднозначным. А если хранить вместе с изоморфизмом - то это уже и будет $f$.