Неравенство

[Юстас]

Докажите, что при $x\in(0,\pi/2)$

$$\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2+\frac{\tan x}{x}>2$$

[ewert]

Умножаем на $x^2,$ заменяем $\tg x\equiv t$ и переписываем неравенство в виде:

$${t^2\over1+t^2}+xt>2x^2.\qquad\qquad\qquad\ \ \text{\mathrm{(0)}}}$$

Пару раз дифференцируем по $t$, учитывая, что $x=\arctg x:$

$${2t\over1+t^2}+x+{t\over1+t^2}>4{x\over1+t^2};$$

$$3t+x(1+t^2)>4x;\qquad\qquad\qquad\text{\mathrm{(1)}}$$

$$3+2xt+{1+t^2\over1+t^2}>{4\over1+t^2}.\qquad\text\ \ \ {\mathrm{(2)}}$$

Последнее очевидно, и откатом получаем исходное неравенство (поскольку в начальной точке $x=t=0$ все неравенства превращаются в равенства)

[Юстас]

Будете смеяться, но эта задача была решена в статье за 2007 год в журнале по неравенствам, и гордо именовалась "open problem" Правда, было еще и продолжение, кажется такое: чему равен супремум тех $c$, для которых

$$\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2+\frac{\tan x}{x}>2+c x^3\tan x$$

[ewert]

ну, тут, наверное, с Тейлорами надо возиться, что я сначала и пытался, и что откровенно лень -- за явной безыдейностью задачи.

[juna]

ewert в сообщении #214211 писал(а):

Умножаем на $x^2,$ заменяем $\tg x\equiv t$ и переписываем неравенство в виде:

$${t^2\over1+t^2}+xt>2x^2.\qquad\qquad\qquad\ \ \text{\mathrm{(0)}}}$$

Пару раз дифференцируем по $t$, учитывая, что $x=\arctg x:$

$${2t\over1+t^2}+x+{t\over1+t^2}>4{x\over1+t^2};$$

$$3t+x(1+t^2)>4x;\qquad\qquad\qquad\text{\mathrm{(1)}}$$

$$3+2xt+{1+t^2\over1+t^2}>{4\over1+t^2}.\qquad\text\ \ \ {\mathrm{(2)}}$$

Последнее очевидно, и откатом получаем исходное неравенство (поскольку в начальной точке $x=t=0$ все неравенства превращаются в равенства)

Почему из (2) будет следовать (0) после дифференцирования?

[ewert]

juna в сообщении #214458 писал(а):

Почему из (2) будет следовать (0) после дифференцирования?

После обратного интегрирования. По степенно. Например, из $f(0)=g(0)$ и $f'(x)>g'(x)$ при $x>0$ следует $f(x)>g(x)$.

[juna]

Спасибо, понял. Просто я пропустил узловой момент $f(0)=g(0)$.