правильные многоугольники на поверхностях

[vlad239]

В пространстве дана поверхность (например, $С_1$ - гладкое двумерное многообразие).
При каком наибольшем $n$ можно гарантировать наличие на этой поверхности $n$ точек, образующих вершины правильного $n$-угольника?

Грубо говоря, верно ли, что на кривой пол можно поставить табуретку так, что все ее ножки будут стоять на полу (а сама табуретка, возможно, косо)?

Влад.

[Утундрий]

1) Ребра многоугольника - отрезки геодезических или имеется в виду секущая плоскость, проходящая через все $n$ точек?
2) Насколько принципиальна правильность многоугольника?

[vlad239]

1) - секущая плоскость
2) - критична. Пересечем плоскостью нашу поверхность и на полученной кривой выберем дофига точек. Они станут вершинами неправильного многоугольника.

Влад.

[ИСН]

Табуретку - можно (доказывается через непрерывность и поворот на 90°).

[worm2]

Правильный пятиугольник (и правильные многоугольники с большим числом точек) нельзя (в общем случае).
И вообще, любой многоугольник, вписанный в окружность, и даже эллипс [легко обобщить до любой кривой 2-го порядка], с числом точек более 4 --- нельзя.

Рассмотрим параболический цилиндр $z=ax^2$. Всевозможные его сечения плоскостью --- это параболы или пары параллельных (возможно, совпадающих) прямых. Для нас здесь важно, что любое сечение --- это кривая порядка не выше второго и не эллипс. Следовательно, пересечение её с эллипсом содержит не более 4 точек (ибо для определения точек пересечения получается уравнение порядка не выше 4).

[sergey1]

Цитата:

В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.

Точнее, можно найти 4 точки на кривой, служащие вершинами квадрата (если кривая ограничивает невыпуклую область, то квадрату разрешается вылезать из этой области). В работе Шнирельмана кривая предполагается достаточно гладкой. Когда цитируют теорему Шнирельмана, ее часто формулируют для произвольной непрерывной кривой. Авторам неизвестно, опубликовано ли где-нибудь доказательство для этого случая. В 1996 г. один из нас (В.В.Успенский) спросил знаменитого Пола Эрдеша, каков статус теоремы о вписанном квадрате в случае произвольной непрерывной кривой. Эрдеш ответил, что это открытая проблема.

http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159298&uri=node3.html

[vlad239]

А причем тут замкнутые кривые на плоскости? Вдруг нельзя посечь нашу поверхность плоскостью так, чтобы замкнутая кривая получилась. Вот гиперболический параболоид, например?

Влад.

[Юстас]

ИСН, решение в студию!

[ИСН]

Дак это оно и было, что тут ещё скажешь. Ну, пусть табуретка качается с левой задней ножки на правую переднюю. А повернуть на 90°, тогда что? Тогда наоборот (с правой задней на лев.пер.) По непрерывности, значит, где-то между есть точка, где она вообще не качается.

[vlad239]

Что значит повернуть? Я не понимаю, какой непрерывный процесс имеется в виду. Если это поворот вокруг оси, перпендикулярной табуретке, то чаще всего табуретка будет опираться на поверхность одной ножкой и качаться как угодно.

Я правильно понимаю, что Вы доказываете более общее утверждение - что даже квадрат заданного размера всегда можно выбрать?

Влад.

[sergey1]

vlad239 в сообщении #214213 писал(а):

А причем тут замкнутые кривые на плоскости? Вдруг нельзя посечь нашу поверхность плоскостью так, чтобы замкнутая кривая получилась. Вот гиперболический параболоид, например?

Влад.

Это ясно. Просто я привел ссылку на похожую задачу. Сорри, что не указал это явно.

-- Сб май 16, 2009 13:01:49 --

А решение есть здесь
Файл тяжелый - сканированная статья Табачникова "Соображения непрерывности", Квант N9,1987.