Существует ли аналитическое решение уравнения

[passenger]

$2^p p = a$, где $a$ - константа.

[gris]

Аналитически можно только определить, при каких $a$ сколько решений будет.

[passenger]

У меня такое ощущение, что решение всегда ровно одно
Хотелось бы понять каким образом можно вывести оценку для p вида \log \frac{a}{\log a}.

[gris]

при $b<a<0$ будет 2 решения

А при больших $a$ можно и прологарифмировать

[Виктор Викторов]

Не понял, откуда взялось b. Что касается решений, мне кажется, что тут при каждом а одно решение. При а=0 это очевидно. А в остальных случаях имеем пересечение показательной функции с основанием два с гиперболой и оно (пересечение) единственно.

[vlad239]

Виктор Викторов в сообщении #214118 писал(а):

Не понял, откуда взялось b. Что касается решений, мне кажется, что тут при каждом а одно решение. При а=0 это очевидно. А в остальных случаях имеем пересечение показательной функции с основанием два с гиперболой и оно (пересечение) единственно.

$2^{-1}(-1)=2^{-2}(-2)$

Влад.

[Nxx]

Функция Ламберта.

[Xaositect]

passenger в сообщении #214099 писал(а):

У меня такое ощущение, что решение всегда ровно одно
Хотелось бы понять каким образом можно вывести оценку для p вида \log \frac{a}{\log a}.

Вот в этой теме: post202024.html были асимптотические оценки.

[Milliard]

Это функция Ламберта, смотрите в Википедии - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0. Там же и в ряд Тейлора разложение есть.

[Nxx]

В данном случае, ответ

$$p=\frac{W(a \ln (2))}{\ln (2)}$$