Построить график и определить четность (нечетность) функции

[rar]

Построить график кусочно-линейной функции

$$f(x)$$

, заданной на отрезке

$$[-2, 2]$$

. Является ли она четной (нечетной)?

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} -x-2, & & -2 \leqslant x < -1 \\ -1, & & -1 \leqslant x < 0 \\ 1, & & 0 \leqslant x < 1 \\ -x+2, & & 1 \leqslant x \leqslant 2 \end{array}$$

Посмотрите. График, вроде, верно построил:



А вот как определить является ли данная функция четной/нечетной?

[Алексей К.]

График правильный. Может, надо как-то специально выделить поведение в нуле (не знаю, как это у Вас делается).
Из графика вижу --- нечётная.
Вам осталось вспомнить и проверить формальное определение.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #213769 писал(а):

Может, надо как-то специально выделить поведение в нуле (не знаю, как это у Вас делается).
Из графика вижу --- нечётная.

Вторая фраза (с учётом первой) -- преждевременна.

[Stagnant]

рассмотреть функцию -f(-x) и сравнить с данной... если совпадут все значения с исходной, значит нечётная. (В нуле не совпадает)

[Виктор Викторов]

А чему с чем в нуле нужно совпадать?

[Stagnant]

f(0)=-f(0)? нет?=)

[Виктор Викторов]

Ай, Вы правы.

[rar]

Действительно, по графику видно, что функция нечетная. Но. Как это доказать аналитически?

Для каждой функции

$$f(-x)=-f(x)$$

надо проверять что ли?
Ну так

$$f(x)=-x-2$$

ни нечетная, ни четная.
Чет запутался. Данную функцию еще надо будет разложить в ряд Фурье...

[AD]

Не-не-не. Проверять это надо только для одной функции $f$. Той, которая из первого сообщения. И рассмотреть случаи: $x=0$, $0<x<1$, $1\le x<2$, ...

[ewert]

rar в сообщении #213857 писал(а):

Данную функцию еще надо будет разложить в ряд Фурье...

А вот с точки зрения рядов Фурье её вполне можно считать нечётной, формально переопределив нулём в нуле (ряд Фурье этого не почувствует).

[rar]

ewert в сообщении #213866 писал(а):

rar в сообщении #213857 писал(а):

Данную функцию еще надо будет разложить в ряд Фурье...

А вот с точки зрения рядов Фурье её вполне можно считать нечётной, формально переопределив нулём в нуле (ряд Фурье этого не почувствует).

А можно по-подробней.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #213769 писал(а):

График правильный. Может, надо как-то специально выделить поведение в нуле (не знаю, как это у Вас делается).
Из графика вижу --- нечётная.
Вам осталось вспомнить и проверить формальное определение.

Я тут, пардон, среди ночи глупость вякнул, надо бы исправиться.
Определение нечётной функции $f(x)=-f(-x)$ выполнено всюду, кроме $x=0$, ибо $\underbrace{f(0)}_{1}\not=\underbrace{-f(-0)=-f(0)}_{-1}$. Вот ежели бы в нуле фунцию нулём определили, или вообще выкинули ноль из области определения, --- было бы нечётно.
Извините, просто кошмарик приснился...

[Solution]

кстати, чтобы говорить о нечетности, нужно сказать, что область определения функциии симметрична относительно нуля. в данном случае это так и есть). и при x=0 функция принимает значение только, т.е. точка (0;-1) - пустая, что не указано на вашем графике. к тому же F(0), а -F(-0)=-1 - функция от 0 не равна минус функции от -0. отсюда следует, что данная функция не является чётной или нечетной.

[Алексей К.]

При этом, как бы мы ни определили $f(0)$, на площадь под графиком (то бишь $\int\limits_{-2}^{2}f(x)\, dx\:[=0]$ ) ну никак не повлияет. Из этих соображений и к вопросу о рядах Фурье подходим: на коэффициенты Фурье, вычисляемые как интегралы, это никак не повлияет. Сделаем $f(x)$ нечётной, воспользуемся какими-то преимуществами, которые от этого возникнут...

[Solution]

но ведь график нечетной функции симметричен относительно 0? а этот вроде нет...