аналитическое решение ур-я теплопередачи в трубе

[m4D]

Итак, вопрос про двухмерную стационарную теплопроводность. Есть толстая цилиндрическая труба конечных размеров. Т.к. задача является осесимметричной относительно z, разумно выбрать цилиндрическую с\к. Уравнение теплопроводности примет вид:
$\frac{\partial^2}{\partial r^2}T(r,z)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}T(r,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}T(r,z)=-\frac{q(z)}{\lambda}$
q(z) - заданное распределение плотности теплового потока через внутреннюю поверхность.
Также известно конвекционное ГУ на внешней поверхности (труба обтекается жидкостью).

Собственно, первый вопрос в том, как найти аналитическое решение этого уравнения? Ни в одной книге не нашёл решения для трубы конечных размеров в цилиндрической с\к. В книге Лыкова "Теплопередача" на 422 стр. есть кое-что похожее, но хотелось бы что-нибудь по-проще, без полного букета всех критериальных чисел и обезразмеривания всего, чего только можно)

Второй вопрос в том, какой из математических пакетов способен это посчитать? Хотя это наверное уже не сюда...)

Заранее благодарен.

правка: буквы

[ewert]

Нужен явный вид граничных условий (от этого до некоторой степени зависит ход решения).

То, что плотность источников тепла в правой части зависит только от $z$ -- несколько подозрительно (тогда уж скорее естественнее было бы только от $r$).

И потом: что такое "толстая труба"? Это буквально труба или всё-таки кусок сплошного цилиндра?

[m4D]

Наверное, нужно написать так: q(r,z)... Хотя я тут поразмыслил, скорее всего в правой части должен быть 0, т.к. это есть qv, т.е. плотность потока внутренних источников... а у меня их как бы и нет)

Попытаюсь сформулировать в явном виде:
ГУ на внутренней поверхности (заданная плотность потока вдоль z):
$\Delta T(r,z)|_r_=_r_1 =-\frac{q(z)}{\lambda}$
ГУ на внешней поверхности (вынужденная конвекция):
$q(r2,z)=\alpha_n(T(r2,z)-T_0)$
конвекцией с торцев трубы пренебрегаем, считаем что они теплоизолированы, т.е. там тепловой поток равен нулю:
$\Delta T(r,z)|_z_=_0 =0$
$\Delta T(r,l)|_z_=_l =0$
($\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ - оператор Лапласа в цилиндрических координатах)

Толстая труба - цилиндрическая оболочка с отношением диаметр\толщина<20 (в дальнейшем, производится прочностной расчёт по температурным напряжениям). Для данной задачи это просто цилиндрическая область длиной l, с внутренним и внешним радиусами r1 и r2 соответственно.

[Gafield]

Странные граничные условия. В них точно $\Delta$ присутствует?

[peregoudov]

topic17839.html

[m4D]

Gafield
эммм, пожалуй в последних 2-х нет... там можно ограничиться первой производной. а в первом - вроде должен быть

peregoudov
к сожалению там рассматривают одномерную задачу...

[Утундрий]

m4D в сообщении #212597 писал(а):

первый вопрос в том, как найти аналитическое решение этого уравнения?

Я объясню... Сперва его (уравнение) необходимо грамотно записать. Используйте для решения этой подзадачи столь нелюбимые вами "сложные, непонятные учебники".

[Mottle]

Скорее всего Вы имели в виду монографию А.В. Лыкова "Теория теплопроводности."
Если Вам нужна "аналитика", то придется разбираться со всеми критериями и прочими функциями Бесселя
Если хватит частного решения, то любой маломальски серьезный конечно объемный/элементный/разностный решатель способен осилить эту проблему. При корректной постановке, конечно же.