Ломоносов 2009!

[Виктория123]

Принесли тут задачку с олимпиады Ломоносов 2009,очень интересно как решается!

У часов сломалась минутная стрелка.Она стала в произвольный момент времени менять свое направление,двигаясь с прежней угловой скоростью.Стрелка идет плавно.То есть потенциальные показания -промежуток от 0 до 60.
Может ли такая стрелка в течении одного часа бесконечно много раз показать каждое из чисел 15 и 45?

Ответ:может.Но как обосновать?

[Ираклий]

Ответ "может" кажется невероятным! Не верю.

[Brukvalub]

Если Вы слышали про сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то поймете, что ничего невероятного в ответе нет.

[Ираклий]

Про сумму членов слышал, конечно. Так, кажется начинаю понимать. В начале она колеблется вокруг 15. Потом идет к 45 и там колеблется. Может, точно.

[TOTAL]

Ираклий в сообщении #213058 писал(а):

Про сумму членов слышал, конечно. Так, кажется начинаю понимать. В начале она колеблется вокруг 15. Потом идет к 45 и там колеблется. Может, точно.

С какой стороны подошла стрелка к цифре 15 в последний раз (перед тем как отправиться к цифре 45)?

[Dandan]

Если пытаться формализовать, то получается у нас есть функция $f:[0,60] \rightarrow [0,60]$ (будем считать, что стрелка через 0 не переходит). Если предположить, что в любой точке существуют левая и правая производные равные по модулю 1, то ответ нет(ред. - однако да). А без такого условие выглядит странновато.

[Ираклий]

Без односторонних производных действительно странно - не понятно, что такое угловая скорость. Но даже при условии их существования ответ - да. На промежутке времени [15;45] стрелка движется от 15 до 45. На промежутке [0;15] она совершает бесконечное число колебаний около 15. На промежутке [45;60] совершает бесконечное число колебаний около 45.

[xaxa3217]

Dandan писал(а):

Если предположить, что в любой точке существуют левая и правая производные равные по модулю 1, то ответ нет

Вообще смущает условие "плавности"+"двигаясь с прежней угловой скоростью": в момент, когда направление стрелки меняется ее угловая скорость очевидно обнуляется (приращение угла поворота должно менять знак на противоположный). Если же смотреть на левую и правую производные, то к примеру геометрическое убывание высоты зубчиков функции-пилы влечет за собой, что за конечный промежуток времени функция "рисует" бесконечно много зубчиков и соотв. пересечений с прямой y=15 (для другой пилы y=45) тк проекция на ось времени пропорциональна высоте зубчика (причем с некоторым постоянным коэффициентом).

[TOTAL]

Ираклий писал(а):

Но даже при условии их существования ответ - да. На промежутке времени [15;45] стрелка движется от 15 до 45. На промежутке [0;15] она совершает бесконечное число колебаний около 15. На промежутке [45;60] совершает бесконечное число колебаний около 45.

Повторяю вопрос: укажите момент времени и направление, с которого стрелка попала в 15 в последний раз.
Укажите все моменты пребывания стрелки в 15.

[Dandan]

мда, существование левых и правых производных все-таки еще не означает, что такую функцию построить нельзя. "Зубчики" могут под наклоном 1 к точке стремиться. Зато вот с условием, что в каждой точке есть некоторые интервалы справа и слева (содержащие точку), на которых "направление" не меняется - уже точно получается ответ нет. Это условие означает, что точки разрыва односторонней производной изолированы.

[ShMaxG]

Не понимаю, причем тут правые и левые производные? Школьники не знают о них.
Я так понимаю, плавность здесь - это непрерывность, стрелка не перескакивает резко из одного положения в другое.
Пусть стрелка показывает 15 минут. Пусть она сдвинется вниз на полминуты и вернется в исходное положение тоже за полминуты. Далее сдвинется вниз на 1/4 минуты, затем вернется обратно за 1/4 минуты. И т.д.
После того, как пройдет с момента начала движения 2 минуты, пусть движется от 15 минут до 45, это займет еще полчаса. И на 45 минутах повторит тоже самое. Еще плюс 2 минуты.
Итого на все про все - 34 минуты.

И можно указать все моменты прохождения через отметки 15 или 45.

Поправьте меня, где я не прав.

[xaxa3217]

TOTAL писал(а):

Повторяю вопрос: укажите момент времени и направление, с которого стрелка попала в 15 в последний раз.

Хм, это намек на то, что до этого момента стрелка не могла пройти через 15 бесконечное число раз?

Dandan писал(а):

Зато вот с условием, что в каждой точке есть некоторые интервалы справа и слева (содержащие точку), на которых "направление" не меняется

Ну это понятно, только где это условие?

Шла бы речь не о часах и стрелках, проблем было бы меньше:) А так, заранее зная правильный ответ, все плавности и направления можно трактовать по-своему.

[e2e4]

В общем-то дурная задача, где надо скорее угадывать, что имел ввиду ее составитель, нежели думать над ответом, который довольно очевиден.

За что я всегда не любил школу - за то, что в ней все надо решать ее методами, понимая условие в рамках тех же школьных допущений. Думаю, автор задачи имел ввиду какой-то школьный ответ на вопрос, достаточно очевидный для него и круглого "отличника", который научился читать задачи между строк, вместо поиска оригинальных решений.

Ответ уже указали много раз - стрелка с бесконечной скоростью колеблется сначала возле одной цифры, потом возле другой. Ответ столь же очевиден, как и бессмысленен.

[TOTAL]

e2e4 писал(а):

Ответ уже указали много раз - стрелка с бесконечной скоростью колеблется сначала возле одной цифры, потом возле другой. Ответ столь же очевиден, как и бессмысленен.

Стрелка движется не с бесконечной скоростью, а со скоростью минутной стрелки.

[e2e4]

Да, конечно. Однако, тогда она в окресности 15 и 45 минут движется со скоростью +-0. Впрочем, не суть важно, ИМХО.