Как решать комплексные дифференциальные уравнения?

[Basper]

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:
$ \[ \frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + a \cdot \frac{{dy}} {{dx}} + b = c \cdot \frac{{\alpha \cdot \beta }} {\gamma } \] $

где, $ \[ y - \] $ комплексная функция.

$ \[ a,b,c - \] $ комплексные числа.

$ \[ \alpha ,\beta ,\gamma - \] $ - константы.

Не нашел информации о том, как решать такие уравнения. Просмотрел несколько книг, ничего не нашел. Помогите разобраться пожалуйста.

[terminator-II]

Basper писал(а):

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:
$ \[ \frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + a \cdot \frac{{dy}} {{dx}} + b = c \cdot \frac{{\alpha \cdot \beta }} {\gamma } \] $

где, $ \[ a,b,c - \] $ комплексные числа.

$ \[ \alpha ,\beta ,\gamma - \] $ - константы.

Не нашел информации о том, как решать такие уравнения. Просмотрел несколько книг, ничего не нашел. Помогите разобраться пожалуйста.

так же как действительные ,только проще.

[Brukvalub]

А чем не устраивает стандартный способ решения с помощью хар. уравнения для однородного уравнения и подбора частного решения неоднородного уравнения?

[Basper]

terminator-II писал(а):

Basper писал(а):

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:
$ \[ \frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + a \cdot \frac{{dy}} {{dx}} + b = c \cdot \frac{{\alpha \cdot \beta }} {\gamma } \] $

где, $ \[ a,b,c - \] $ комплексные числа.

$ \[ \alpha ,\beta ,\gamma - \] $ - константы.

Не нашел информации о том, как решать такие уравнения. Просмотрел несколько книг, ничего не нашел. Помогите разобраться пожалуйста.

так же как действительные ,только проще.

Конкретней пожалуйста почему. Проще понятие очень растяжимое.

Добавлено спустя 32 минуты 9 секунд:

Brukvalub писал(а):

А чем не устраивает стандартный способ решения с помощью хар. уравнения для однородного уравнения и подбора частного решения неоднородного уравнения?

Меня-то устраивает. Решил аналогично. Но преподавателя это не устроило, он сказал, что его надо решать по другому, как комплексное диф. уравнение. Также сказал, что оно разбивается на два диф. ур-ния - для вещественной и комплексной части.

Забыл сказать, что функция также является комплексной (исправил в описании).

[citadeldimon]

Basper в сообщении #212571 писал(а):

Конкретней пожалуйста почему. Проще понятие очень растяжимое.

У Вас есть обычное линейное уравнение второго порядка вида $y''+ay'=b$. Находите решение по обычной схеме

Brukvalub в сообщении #212556 писал(а):

с помощью хар. уравнения для однородного уравнения и подбора частного решения неоднородного уравнения.

И не надо пугаться комплексных чисел

[Basper]

citadeldimon писал(а):

Basper в сообщении #212571 писал(а):

Конкретней пожалуйста почему. Проще понятие очень растяжимое.

У Вас есть обычное линейное уравнение второго порядка вида $y''+ay'=b$. Находите решение по обычной схеме

Brukvalub в сообщении #212556 писал(а):

с помощью хар. уравнения для однородного уравнения и подбора частного решения неоднородного уравнения.

И не надо пугаться комплексных чисел

Думаю, что смысл решения кроется в том, функция что в уравнении комплексная, а то что коэффициенты комплексные, то это трудности не представляет.

[citadeldimon]

Basper в сообщении #212583 писал(а):

Думаю, что смысл решения кроется в том, функция что в уравнении комплексная, а то что коэффициенты комплексные, то это трудности не представляет.

Решение однородного уравнения будет действительная функция, а от когда будете подбирать частное решение неоднородного - от там и выскочат комплексные коэффициенты. И все!!!

[Basper]

citadeldimon писал(а):

Basper в сообщении #212583 писал(а):

Думаю, что смысл решения кроется в том, функция что в уравнении комплексная, а то что коэффициенты комплексные, то это трудности не представляет.

Решение однородного уравнения будет действительная функция, а от когда будете подбирать частное решение неоднородного - от там и выскочат комплексные коэффициенты. И все!!!

Что-то сомневаюсь в этом сильно, к тому-же не зря преподаватель сказал об этом, так как решение было найдено стандартным способом. Буду дальше искать.

[ewert]

Basper писал(а):

Меня-то устраивает. Решил аналогично. Но преподавателя это не устроило, он сказал, что его надо решать по другому, как комплексное диф. уравнение. Также сказал, что оно разбивается на два диф. ур-ния - для вещественной и комплексной части.

Пижон этот преподаватель. Если $a$ комплексная, то получается не просто два отдельных уравнения, а система из двух уравнений второго порядка. Задача существенно более сложная, чем исходная.

Кстати, Вы там $y$ после $b$ часом не потеряли?

[Basper]

ewert писал(а):

Basper писал(а):

Меня-то устраивает. Решил аналогично. Но преподавателя это не устроило, он сказал, что его надо решать по другому, как комплексное диф. уравнение. Также сказал, что оно разбивается на два диф. ур-ния - для вещественной и комплексной части.

Пижон этот преподаватель. Если $a$ комплексная, то получается не просто два отдельных уравнения, а система из двух уравнений второго порядка. Задача существенно более сложная, чем исходная.

Кстати, Вы там $y$ после $b$ часом не потеряли?

Почему пижон?
Так он и хотел, чтобы я решал систему из двух уравнений. Со словами "почитайте книги и поймете как надо.." отправил меня домой. Просмотрел несколько классических книг по дифурам, не нашел. Хотя где-то было, в одной, написано немного по этой теме. Сделал вывод, что все-таки такие уравнения решаются по другому, чем обычные. Вот поэтому обратился сюда, может быть кто-то знает как составить эту систему.

$y$ не потерял.

[ewert]

Ну если $y'(x)=u(x)+iv(x)$, то имеем систему вида

$$\begin{cases}u'+\alpha u-\beta v=\gamma, \\ v'+\alpha v+\beta u=\delta\end{cases}$$

(альфабетагаммы, естественно, не те, что в Ваших исходных обозначениях). Исключая подстановкой одну из фукций, получим для другой уравнение второго порядка. Найдя его общее решение, выражаем через него первую (исключённую) функцию.

Полученное общее решение будет содержать две вещественных произвольных постоянных. Но и начальное условие для $y'(x)$, будучи комплексным, также определяется двумя вещественными числами. Отсюда получаем систему из двух уравнений для двух неизвестных вещественных постоянных.

Сработает, конечно. Но -- откровенное уродство.

[Basper]

ewert писал(а):

Ну если $y'(x)=u(x)+iv(x)$, то имеем систему вида

$$\begin{cases}u'+\alpha u-\beta v=\gamma, \\ v'+\alpha v+\beta u=\delta\end{cases}$$

(альфабетагаммы, естественно, не те, что в Ваших исходных обозначениях). Исключая подстановкой одну из фукций, получим для другой уравнение второго порядка. Найдя его общее решение, выражаем через него первую (исключённую) функцию.

Полученное общее решение будет содержать две вещественных произвольных постоянных. Но и начальное условие для $y'(x)$, будучи комплексным, также определяется двумя вещественными числами. Отсюда получаем систему из двух уравнений для двух неизвестных вещественных постоянных.

Сработает, конечно. Но -- откровенное уродство.

Понял. Попробую. А почему это откровенное уродство?? Непонятно

[terminator-II]

ewert писал(а):

Ну если $y'(x)=u(x)+iv(x)$, то имеем систему вида

$$\begin{cases}u'+\alpha u-\beta v=\gamma, \\ v'+\alpha v+\beta u=\delta\end{cases}$$

(альфабетагаммы, естественно, не те, что в Ваших исходных обозначениях). Исключая подстановкой одну из фукций, получим для другой уравнение второго порядка. Найдя его общее решение, выражаем через него первую (исключённую) функцию.

Полученное общее решение будет содержать две вещественных произвольных постоянных. Но и начальное условие для $y'(x)$, будучи комплексным, также определяется двумя вещественными числами. Отсюда получаем систему из двух уравнений для двух неизвестных вещественных постоянных.

Сработает, конечно. Но -- откровенное уродство.

как это Вам удалось получить систему, которая содержит только производные от $y$ и не содержит компонент самой функции $y$?

[Алексей К.]

Basper писал(а):

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:
$ \[ \frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + a \cdot \frac{{dy}} {{dx}} + b = c \cdot \frac{{\alpha \cdot \beta }} {\gamma } \] $

где, $ \[ y - \] $ комплексная функция.

$ \[ a,b,c - \] $ комплексные числа.

$ \[ \alpha ,\beta ,\gamma - \] $ - константы.

$y(x)$ в исходной задаче не фигурирует, что уже вызывало подозрения и было подтверждено автором. Что по-прежнему вызывает подозрения --- зачем свободный член уравнения записывать в таком виде?

[terminator-II]

Алексей К. писал(а):

Basper писал(а):

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:
$ \[ \frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + a \cdot \frac{{dy}} {{dx}} + b = c \cdot \frac{{\alpha \cdot \beta }} {\gamma } \] $

где, $ \[ y - \] $ комплексная функция.

$ \[ a,b,c - \] $ комплексные числа.

$ \[ \alpha ,\beta ,\gamma - \] $ - константы.

$y(x)$ в исходной задаче не фигурирует

ой а слона то я и не приметил