Вычислить интеграл

[ShMaxG]

Недавно решал задачу о вычислении вот такого интеграла:

$$ I\left( a \right) = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 - ax^2 } \right)}} {{x\sqrt {1 - x^2 } }}} dx $$

при

$$ a \in \left[ {0;1} \right] $$

.

Для этого пришлось продифференцировать по параметру, проверить все равномерные сходимости и т.д. Т.о. пришел к ответу

$$ I\left( a \right) = - \arcsin ^2 a $$

.

Теперь, пусть необходимо вычислить интеграл

$$ \int\limits_0^1 {\frac{{\ln x}} {{x - 1}}} dx $$

Можно ли как-то ввести параметр так, чтобы аналогично вычислить этот интеграл (описанным выше способом, или как-то похоже)?

[Cave]

http://dxdy.ru/topic21171.html, решение Полосина с тривиальным исправлением для вашего случая.

[ShMaxG]

Спасибо!

[GAA]

Другой способ. Выполнив замену $x=1-u$, привести интеграл к виду $-\int_0^1 \frac {\ln (1-u)} {u} du$, а затем, почленным интегрированием, свести интеграл к стандартной сумме $\sum_1^{+\infty} 1/n^2= \pi^2/6$.
См. похожие задачи (в частности, 3036) в §8 «Нахождение определенных интегралов с помощью рядов» книги
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

[ShMaxG]

А, собственно, мне и нужно было найти этот ряд через интеграл.
Просто мне было интересно вычислить этот интеграл введя параметр и применив теорию интегралов, зависящих от параметров, далее посчитать его значение при нужном значении параметра.

У меня есть статья Кохася К. "Сумма обратных квадратов". Он пишет, что этот интеграл "не берется", хотя вычисляет его потом с помощью вычетов.