Проверьте задачу (дифф. ур. третьего порядка)

[rar]

Проверьте решение задачи.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения третьего порядка:

$$xy'''+y''=1$$

.

$$y''=z(x), $$

$$y'''=z'(x)$$

$$xz'+z=1$$

$$z'+\frac{1}{x}z=\frac{1}{x}$$

(1)

$$z'+\frac{1}{x}z=0$$

$$\frac{dz}{dx}=-\frac{z}{x}$$

$$\int\frac{dz}{z}=-\int\frac{dx}{x}$$

$$\ln{|z|}=-\ln{|x|}$$

$$z=C(x)\frac{1}{x}$$

(2)

$$z'=C'\frac{1}{x}-C\frac{1}{x^2}$$

Подставляем в уравнение (1):

$$C'\frac{1}{x}-C'\frac{1}{x^2}+C'\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}$$

$$C'=1$$

$$\int dC=\int dx$$

$$C(x)=x+C_0$$

Подставляем в уравнение (2):

$$z=(x+C_0)\frac{1}{x}=1+C_0\frac{1}{x}$$

$$z=y''$$

$$y''=1+C_0\frac{1}{x}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=1+C_0\frac{1}{x}$$

$$\int d^2y=\int\left(1+C_0\frac{1}{x}\right)dx$$

$$y'=x+C_0\ln{|x|}+C_1$$

$$\int dy=\int\left(x+C_0\ln{|x|}+C_1\right)dx$$

$$y=\frac{1}{2}x^2+C_0|x|\ln{\frac{|x|}{e}}+C_1x+C_2$$

Ответ:

$$y=\frac{1}{2}x^2+C_0|x|\ln{\frac{|x|}{e}}+C_1x+C_2$$

.

[antbez]

Кое-где некорректная запись, хоть по смыслу- верно. При самом последнем интегрировании потерян квадрат.

[rar]

Вы бы не могли указать на некорректность?

Ну вот так

$$\frac{d^2y}{dx^2}=1+C_0\frac{1}{x}$$

я обозначил производную второго порядка.
А что, квадрат в дифференциале должен переходить на переменные?

$$\int d^2y=\int\left(1+C_0\frac{1}{x}\right)dx^2$$

?

[Brukvalub]

rar в сообщении #212558 писал(а):

А что, квадрат в дифференциале должен переходить на переменные?

$$\int d^2y=\int\left(1+C_0\frac{1}{x}\right)dx^2$$

?

Это дичь. Как говорится "Федя - дичь"!

[rar]

Не понял юмора. Ну объясните мне, может я чего-то недопонимаю...

[Brukvalub]

Интересно, где учат интегрировать второй дифференциал второго порядка?

[rar]

Квадраты добавил.
И расскажите про некорректную запись. Что у меня там за проблемы? Укажите нормально, без хохм.

Добавлено спустя 1 час 11 минут 24 секунды:

Убрал ненавистную двойку из дифференциала. Сейчас проверьте.

[ewert]

rar писал(а):

$$xz'+z=1$$

$$z'+\frac{1}{x}z=\frac{1}{x}$$

(1)

$$z'+\frac{1}{x}z=0$$

и т.д. "Сударыня, Вас обманули -- Вам дали гораздо лучший мех!" $\copyright$

$$xz'=1-z, \quad {dz\over1-z}={dx\over x}, \quad -\ln|1-z|=\ln|x|+C, \quad 1-z=-C_0x^{-1}.$$

Да, а под некорректностью, видимо, понималось то, что после интегрирования логарифма $C_0$ на самом деле перейдёт в что-то типа $\pm C_0$ (из-за модуля). Но это не имеет значения.

[rar]

ewert писал(а):

rar писал(а):

$$xz'+z=1$$

$$z'+\frac{1}{x}z=\frac{1}{x}$$

(1)

$$z'+\frac{1}{x}z=0$$

и т.д. "Сударыня, Вас обманули -- Вам дали гораздо лучший мех!" $\copyright$

$$xz'=1-z, \quad {dz\over1-z}={dx\over x}, \quad -\ln|1-z|=\ln|x|+C, \quad 1-z=-C_0x^{-1}.$$

Да, а под некорректностью, видимо, понималось то, что после интегрирования логарифма $C_0$ на самом деле перейдёт в что-то типа $\pm C_0$ (из-за модуля). Но это не имеет значения.

Не понял что вы хотели сделать. Я делал методом вариации произвольных постоянных.

[ewert]

Это -- уравнение с разделяющимися переменными. И это надо не "хотеть", а просто видеть сходу.

[rar]

Ну, в общем-то, все равно правильно. Так ведь.

[ewert]

правильно-то правильно, но ведь хотелось бы ещё и разумно. Не чеша без необходимости правой ногой за левым ухом.