Производная неявно заданной функции

[Catcher of Souls]

Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, следующее. Демидович в задачнике по математическому анализу дает задачи на дифференцирование неоднозначных функций, например $x^2 + 2xy - y^2 = 2x$ (найти $y'_x$). Может, я чего-то не понимаю, но разве функция по определению не должна быть однозначной?

[vlad239]

У этой функции есть две ветки. Представьте, что Вам задали одну из них.

Более простой пример. $y^2=x$. Здесь есть две ветки $y=\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$. А производную можно записать одинаково - $y'=\frac{1}{2y}$. Что-то в этом духе Вы и тут должны получить.

Влад.

[citadeldimon]

vlad239 писал(а):

У этой функции есть две ветки. Представьте, что Вам задали одну из них.

Более простой пример. $y^2=x$. Здесь есть две ветки $y=\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$. А производную можно записать одинаково - $y'=\frac{1}{2y}$. Что-то в этом духе Вы и тут должны получить.

Зачем так сложно Дифференцируем левую и правую часть одновременно, но не надо забивать что $y=y(x),$ тогда $(y^2)'=2yy'.$

[vlad239]

Я-то имел в виду, что дифференцирование неявной функции человек сам поищет в литературе.

Влад.

[Алексей К.]

Catcher of Souls в сообщении #212190 писал(а):

Демидович в задачнике по математическому анализу дает задачи на дифференцирование неоднозначных функций

Может, это всё таки была задачка на дифференцирование функции, заданной неявно? Что вовсе и не предполагало её дотошного исследования. А любопытный решатель, вместо того, чтобы тупо решить, стал смотреть --- а что это за функция? И типа --- "Ах, что ж ты меня, Демидович, того...! Она, блин, неоднозначная!"
На что Демидович ему ответит: "Да мне до лампочки, сколько функций подходит под это уравнение. Производная-то выражается без этого (хотя, быть может, тоже в терминах неявных функций)!"

Что vlad239 и объяснил в более изящной форме

А касательно определений --- да, в началах анализа функция принципиально однозначна, в других главах появляются многозначные штуки, слово "ветвь" иногда используется. Во всяком случае появление многозначности всегда специально оговаривается и не приводит к недоразумениям. Не оговаривается --- значит нормальная однозначная функция обсуждается.

[Catcher of Souls]

Кажется, я понял: производную неявной функции можно тоже записать неявно, и это будет эквивалентно тому, что записать "явные" производные от каждой ветки этой функции. Благодарю за помощь

[Алексей К.]

Catcher of Souls в сообщении #212282 писал(а):

Кажется, я понял

Осталось убрать слово "кажется". Успехов.

[xaxa3217]

Catcher of Souls писал(а):

Кажется, я понял: производную неявной функции можно тоже записать неявно

Существует ряд утверждений аля локальные теоремы существования и единственности функции заданной неявно, а поскольку производная в точке зависит лишь от поведения функции в сколь угодно малой окрестности, то и она может выражаться очень даже явно.