ретракты

[terminator-II]

Пусть $M$ -- топологическое пространство и $K\subseteq M$ -- его подмножество.
Непрерывное отображение $f:M\to K$ называется ретрактом $M$ на $K$ если $f(x)=x$ для любого $x\in K$.

Задача. Доказать, что не существует ретракта круга (обычный круг на евклидовой плоскости) на окружность, содержащуюся в этом круге.

(Может и не потянет на олимпиадную)

[vlad239]

А разве ретракция может нарушать (линейную) связность? Она же непрерывная, все-таки.

Влад.

[terminator-II]

vlad239 писал(а):

А разве ретракция может нарушать (линейную) связность? Она же непрерывная, все-таки.

Влад.

Да да. Изменим.

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

не неинтересно, фокус не удался, сливаю воду

[vlad239]

Да, все равно не удался. Ведь тогда и круг, ограниченный маленькой окружностью, ретрактится на нее, а это противоречит теореме... блин, не помню - Борсука или Брауэра?

Влад.

[terminator-II]

я думаю что бы снять все побочные способы решения надо поступить так:
доказать, что не существует ретракта шара на окружность

[vlad239]

А чем предыдущее решение не прокатит? Или имеется в виду ретракт сферы? Тогда все равно - поскольку можно выгнуть круг в полусферу, та же теорема запретит такую ретракцию.

Влад.

[terminator-II]

vlad239 писал(а):

А чем предыдущее решение не прокатит? Или имеется в виду ретракт сферы? Тогда все равно - поскольку можно выгнуть круг в полусферу, та же теорема запретит такую ретракцию.

Влад.

я не понял, как Вы предыдущее решение будите применять (там написано не "круг", а "окружность" -- кольцо) и , конечно, не сфера, а шар ,как написано

[vlad239]

Если бы существовала ретракция сферы на окружность на этой сфере, то существовала бы и ретракция сферической шапочки на ограничивающую ее окружность. Тогда существовала бы и ретракция круга на окружность (сначала выгибаем круг шапочкой, потом делаем нашу ретракцию). Поскольку ее не существует...

А ретракт шара на окружность еще проще. Рассмотрим плоскость этой окружности и тот круг, который она там ограничивает. Уже его нельзя отретрактить на окружность. Значит и весь шар нельзя.

Влад.

[terminator-II]

да, неинтересно

[Lyoha]

Так это вроде даже не задача, а пример на инварианты невырожденных гомотопий. Степень отображения или вращение вектороного поля. Сюда же теоремы о еже, барабане, и всё такое прочее.

[Taras]

Думаю автор хотел спросить о задаче типа этой

[terminator-II]

Taras писал(а):

Думаю автор хотел спросить о задаче типа этой

Забавно. У меня собственно такой вопрос.
Вы не в курсе, авторам этого текста, что не известно классическое доказательство невозможности ретракции шара на границу? Классическое доказательство занимает 4-5 строчек, ничего кроме формулы Стокса не использует и спокойно рассказывается второкурснику. Просто непонятно зачем изобретать велосипед ,да еще с квадратными колесами.
Апроксимация непрерывного отображения гладкими, кстати, тоже может осуществляться не столь мучительно.

Добавлено спустя 29 минут 8 секунд:

Lyoha писал(а):

Так это вроде даже не задача, а пример на инварианты невырожденных гомотопий. Степень отображения или вращение вектороного поля. Сюда же теоремы о еже, барабане, и всё такое прочее.

так я уж сказал, что ничего интересного из задачи не получилось. Про векторное поле, когда речь идет о непрерывных отображениях непонятно. Что Вы понимаете под степенью отображения
которое действует на многообразиях разной размерности тоже непонятно.

[Lyoha]

terminator-II в сообщении #212110 писал(а):

Про векторное поле, когда речь идет о непрерывных отображениях непонятно.

Коль скоро мы имеем отображение линейного пространства на себя, оно задаёт векторное поле в данном пространстве.

terminator-II в сообщении #212110 писал(а):

Что Вы понимаете под степенью отображения
которое действует на многообразиях разной размерности тоже непонятно.

Рассмотрите отображение сферы на себя.

[terminator-II]

Lyoha писал(а):

terminator-II в сообщении #212110 писал(а):

Про векторное поле, когда речь идет о непрерывных отображениях непонятно.

Коль скоро мы имеем отображение линейного пространства на себя, оно задаёт векторное поле в данном пространстве.

terminator-II в сообщении #212110 писал(а):

Что Вы понимаете под степенью отображения
которое действует на многообразиях разной размерности тоже непонятно.

Рассмотрите отображение сферы на себя.

и какое это имеет отношение к теме?
если есть что сказать по делу -- говорите: http://dxdy.ru/topic22421.html
а так лучше молчать

[Lyoha]

terminator-II в сообщении #212202 писал(а):

и какое это имеет отношение к теме?

Ну, если попробовать подумать, или вежливо спросить, то многое может проясниться.

terminator-II в сообщении #212202 писал(а):

если есть что сказать по делу -- говорите: http://dxdy.ru/topic22421.html
а так лучше молчать

Это типа такой наезд был, да? Тогда можно мне туда не ходить?