Пучки прямых и ГМТ

[Yu_K]

Ну да еще и иррациональностями... возможно есть какой-то случай когда зависимость не линейная и не квадратичная, а некоторая с 3/2 степенями...

[e7e5]

Yu_K писал(а):

Ну да еще и иррациональностями... возможно есть какой-то случай когда зависимость не линейная и не квадратичная, а некоторая с 3/2 степенями...

Т.е. не не выписать эту кривую $L$ в виде $y(x)$ ... , даже если хорошо математикой владеть?

И не предумать какого-нибудь более простого особого случая? Все решать только численными методами?

[Yu_K]

Простой пример $y=x$ - начальная точка $(0,0)$ - вроде линейный рост будет - проверьте. Ну и аналогично семейству изоклин для ОДУ - здесь можно построить семейство "концентрических" астроид с постоянным значением константы $D$ на каждой отдельной астроиде - и аналогично тому как схематично строится интегральная кривая для ОДУ по изоклинам, так и здесь можно пытаться строить кривую с нужным вам свойством.

[e7e5]

Yu_K писал(а):

Простой пример $y=x$ - начальная точка $(0,0)$ - вроде линейный рост будет - проверьте.

Для указанной прямой

$dl=\sqrt2 dx, так что приращение длины минимального отрезка (перпендикулярен $y=x$ почему?) оказывается $2dl$, т.е постоянно.

Вообще это можно обосновать геометрически. Когда для заданной точки M
в первой четверти нужно провести такую прямую, что прямоугольный треугольник будет иметь минимальную площадь. Это эквивалентно исходной задаче в "простом примере"?

Если да, то геометрически легко построить такой отрезок. Для этого относительно точки $M$ строится прямой угол симметричный началу координат. Точки пересечения сторон этих углов и дадут искомый отрезок.

Yu_K писал(а):

Простой пример $y=x$ - начальная точка $(0,0)$ - вроде линейный рост будет - проверьте. Ну и аналогично семейству изоклин для ОДУ - здесь можно построить семейство "концентрических" астроид с постоянным значением константы $D$ на каждой отдельной астроиде - и аналогично тому как схематично строится интегральная кривая для ОДУ по изоклинам, так и здесь можно пытаться строить кривую с нужным вам свойством.

А вот это мне непонтно. Я попробовал записать уравнение прямой, проходящей через точку $M(x_0;y_0)$


$y-y_0=k(x-x_0)$
Найти точки пересчения данной прямой с осями координат.
Для прямоугольного треугольника записать значение квадрата гипотенузы.
И найти минимум, приравняв первую производную нулю. Да вот беда, получается кубическое уравнение. Из решения кубического уравнения астроиды появятся?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #211932 писал(а):

Да вот беда, получается кубическое уравнение

Кубическое уравнение никак не есть беда. А в данной задачке, видимо, --- ошибка.

[bot]

Я не знаю, как считал Алексей К, но результат у меня тот же.

Это просто задача минимизации $a^2+b^2$ при условии $\frac{x_0}{a}+\frac{y_0}{b}=1$

Из метода Лагранжа получается $\frac{a^3}{x_0}=\frac{b^3}{y_0}=t^3$ - здесь параметр $t$ вводится для простоты подстановки в уравнение связи.

Отсюда $a=x_0^{\frac{1}{3}}t,\ b=y_0^{\frac{1}{3}}t, \ t=x_0^{\frac{2}{3}}+y_0^{\frac{2}{3}}$.

[Алексей К.]

bot в сообщении #211994 писал(а):

Я не знаю, как считал Алексей К.

Я считал так, как собрался считать автор темы.

e7e5 в сообщении #211932 писал(а):

$y-y_0=k(x-x_0)$
Найти точки пересчения данной прямой с осями координат.
Для прямоугольного треугольника записать значение квадрата гипотенузы.
И найти минимум, приравняв первую производную нулю. Да вот беда, получается кубическое уравнение.

Соотв., получилось уравнение 4-й степени отн. $k$, в чём я тоже беды особой не увидел.

Добавлено спустя 22 минуты 45 секунд:

Подсказка (автору).
Возможно, подстановка $y_0=k_0 x_0$ в определённый момент несколько упростит выкладки.

[Yu_K]

e7e5 писал(а):

Yu_K писал(а):

Простой пример $y=x$ - начальная точка $(0,0)$ - вроде линейный рост будет - проверьте. Ну и аналогично семейству изоклин для ОДУ - здесь можно построить семейство "концентрических" астроид с постоянным значением константы $D$ на каждой отдельной астроиде - и аналогично тому как схематично строится интегральная кривая для ОДУ по изоклинам, так и здесь можно пытаться строить кривую с нужным вам свойством.

А вот это мне непонтно. Я попробовал записать уравнение прямой, проходящей через точку $M(x_0;y_0)$

Постройте семейство линий уровня функции $Z=D(x,y)$ - это и будут "концентрические" астроиды.

[e7e5]

bot писал(а):

Я не знаю, как считал Алексей К, но результат у меня тот же.

Это просто задача минимизации $a^2+b^2$ при условии $\frac{x_0}{a}+\frac{y_0}{b}=1$

Из метода Лагранжа получается $\frac{a^3}{x_0}=\frac{b^3}{y_0}=t^3$ - здесь параметр $t$ вводится для простоты подстановки в уравнение связи.

Отсюда $a=x_0^{\frac{1}{3}}t,\ b=y_0^{\frac{1}{3}}t, \ t=x_0^{\frac{2}{3}}+y_0^{\frac{2}{3}}$.

Метод Лагранжа нравится - мощный!

Полистал задачник по мат. анализу. Нашел похожую задачу:

"Черех точку $A(2;1/4)$ проводятся прямые, пересекающие положительные полуоси в точках $B$ и $C$ ( текст какой простой, а я то "выдумывал" про пучок прямых). Найти уравнение той прямой, для которой отрезок BC имеет наименьшую длину".

Ответ: $2x+4y=5$
А получаются иррациональности...

Если выписывать ур. прямой проходящей через точки: $B(a;0)$ и $C(0;b)$

$ \frac {x-a} {0-a}=\frac {y-0} {b-0}$

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #212136 писал(а):

Если выписывать ур. прямой проходящей через точки

Не надо ничего выписывать, Вы же уже изложили методу. Доводите до ума.

[e7e5]

Yu_K писал(а):

Постройте семейство линий уровня функции $Z=D(x,y)$ - это и будут "концентрические" астроиды.

Иными словами, траектории точки, лежащей на окружности круга радиуса $r$, который катится по внутренней стороне неподвижного круга, радиус $R$ которого в 4 раза больше $r$.

И как это связать с $D(x;y)$? - Брать фиксированное значение $Z$, затем менять значения $x$ и для каждого значения $x$ находить $y$ и строить в первой четверти астроиде. Так?
Потом брать другое значение $Z$ и повторить построение?

[ИСН]

Если угодно. В конце концов, это же Вы придумываете задачу, а не мы.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #212139 писал(а):

лежащей на окружности круга

Пучки окружностей тоже, кстати, бывают...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Подсказка (автору).
Возможно, подстановка $y_0=k_0 x_0$ в определённый момент несколько упростит выкладки.

$y-y_0=k(x-x_0)$

Условие на пересчение с осью $OX$: $y=0$; $-y_0=kx-kx_0$
с осью $OY$: $x=0$, $y-y_0=-kx_0$

отсюда
$x_a=-y_0/k+x_0$
$y_b=-kx_0+y_0$

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника:
$D^2=x_{a} ^2+ y_{b} ^2$
Получаем: $D^2=y_{0}^2/k^2+x_{0}^2 -2x_0 y_0/ k+ x_{0}^2 k^2 -2x_0 y_o k +y_{0}^2}$
Правильно? теперь нужно найти такое значение $k$ при котором значение выражения будет минимально.

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

отсюда
$x_a=-y_0/k+kx_0$

???