Аффинные пространства, задачи

[Алина:)]

помогите,пожалуйста. проболела,не поняла, а надо к контрольной.
подскажите,как делать.

1)найти прямую,проходящую через точку b и пересекающую плоскости $P_1$ и $P_2$
b=(5,9,2,10,10)

$P_1$:$ \left\{ \begin{array}{l} x_1-x_2-x_4-x_5=2,\\ x_1-x_3-x_4+x_5=1,\\ 5x_1+3x_2-2x_3-x_5=0, \end{array} \right. $

$P_2$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=3,\\ x_2=2+6t_1+5t_2,\\ x_3=0,\\ x_4=6+t_1+2t_2,\\ x_5=6+t_1+2t_2, \end{array} \right. $

2)найти размерность аффинной оболочки объединения плоскостей $P_1 $и $P_2 $и размерность Их пересечения или степень параллельности:
$P_1$:$ \left\{ \begin{array}{l} 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=6,\\ 4x_1+5x_2+4x_3+3x_4=2, \end{array} \right. $

$P_2$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=1-t_1,\\ x_2=1+2t_1+t_2,\\ x_3=1-2t_1+2t_2,\\ x_4=1+t_1+t_2, \end{array} \right. $

насчёт 2) у меня мысли были такие:
так как $P_1=a_1+L_1$ и$P_2=a_2+L_2$, то смотрим пересечения и объединения $L_1$ и $L_2$
получилось $dim(L_1\cup L_2)=4$ но как узнать скрещиваются они или параллельны,и как узнать степень параллельности?

1)представив,две скр.прямые я подумала,что нужно искать ортогональные дополнения к $L_1$ и $L_2$ Потом из пересечение. и именно оно будет направляющим подпространством (вектором) нашей прямой
правильно ли это?

заранее спасибо!

[мат-ламер]

Я тут не специалист и про степень параллельности вообще первый раз слышу. Насчёт второй задачи возникла мысль подставить переменные из второй системы в первую. Получится система из двух уравнений с двумя неизвестными. Дальше посмотреть, сколько решений у той системы.

[Алина:)]

степень параллельности,это вроде как размерность подпространств из $L_1$ и $L_2$.которые не пересекаются.

[мат-ламер]

Про степень параллельности я всё равно не понял (ну и ладно). Допустим у нас пространство трёхмерно и надо узнать, параллельны или скрещиваются прямые? Если они записаны в виде систем, то надо матрицу одной системы присовокупить к другой и посчитать её ранг. (Точно не проверял, но мне так кажется на первый взгляд. Давненько я изучал аналитическую геометрию). Если обе прямые заданы параметрически - тоже ясно как делать. Может Вам привести обе плоскости к одному виду и это упростит дело?

[Алина:)]

я находила 2 вектора задающие L для первой плоскости,для второй они очевидна,посчитала ранг матрицы из этих четырёх,получила 4.
$dim(L_1\cup L_2)=4=dimL_1+dimL_2$
значит,не пересеклись

[VAL]

Алина:) писал(а):

степень параллельности,это вроде как размерность подпространств из $L_1$ и $L_2$.которые не пересекаются.

"Степень параллельности" - как минимум не общеупотребимый термин.
Чаще говорят о частичной параллельности вдоль данного направляющего подпространства.
Пусть плоскость $P_1$, размерности $k_1$ c направляющим подпространством $L_1$, и плоскость $P_2$, размерности $k_2$ c направляющим подпространством $L_2$, не имеют общих точек, а их нарпавлющие подпространства имеют нетривиальное пересечение. Тогда говорят, что плоскости $P_1$ и $P_2$ частично параллельны вдоль $L_1 \cap L_2$.

Подсказка по первой задачке:
Составьте параметрическое уравнение (трехмерной) плоскости, содержащей точку $b$ и плоскость $P_2$. А затем найдите (подставив, параметрическое уравнение в общее) точку пересечения этой плоскости с плоскостью $P_1$. Ну, а имея две точки, уравнение прямой, Вы, я надеюсь, найдете.

Вторую можно решеть, например так. Найти базисы направляющих подространств (один у Вас есть, а для другого надо надо найти базис ортогонального дополнения). Найдите вектор-мост (он соединяет две произвольные точки, взятые по одной из каждой плоскости). У Вас получится пять векторов. Ранг матрицы из координат этих векторов даст размерность линейной оболочки. То же самое, но без вектора-моста даст размерность суммы направляющих подпространств. Далее можно действовать на основании известной теоремы: $Dim(L_1 \cap L_2) = Dim(L_1)+Dim(L_2)-Dim(L_1 + L_2)$

Добавлено спустя 6 минут 24 секунды:

Алина:) писал(а):

я находила 2 вектора задающие L для первой плоскости,для второй они очевидна,посчитала ранг матрицы из этих четырёх,получила 4.
$dim(L_1\cup L_2)=4=dimL_1+dimL_2$
значит,не пересеклись

Кто не пересеклись?!
Если Вы все верно посчитали, исходные плоскости, как раз наоборот, обязательно пересекаются. Поскольку сумма направляющих подпространств совпала со всем пространством, вектор-мост обязан принадлежать этой сумме, что и гарантирует наличие общих точек. (В данном случае одной общей точки, так как направляющие подпространства пересекаются по 0-пространству.)

[Алина:)]

простите,не поняла про вектор-мост,это как?

в ответе пересечение пустое множество..


а плоскость содержащую плоскость $P_1$ и b- это взять направляющее подпрострнство $L_1$ добавить вектор $\overrightarrow{BP_0}$,где $P_0$ точка на плоскости?

Добавлено спустя 16 минут 53 секунды:

и почему нельзя искать пересечение сопряженных подпространст,если наши плоскости заведомо скрещиваются?
(так как единственная прямая)

[VAL]

Алина:) писал(а):

простите,не поняла про вектор-мост,это как?

Я же пояснил:
Берем по точке в каждой из плоскостей. Пара точек определяет вектор. Это и есть вектор-мост. Его принадлежность сумме направляющих подпространств - необходимое и достаточное условие непустого пересечения плоскостей.

Цитата:

в ответе пересечение пустое множество..

Ничего удивительного. Вы неверно посчитали размерность суммы.
(Кстати, именно суммы, а не объединения. Объединение подпространств не обязано быть подпространством.)

Цитата:

а плоскость содержащую плоскость $P_1$ и b- это взять направляющее подпрострнство $L_1$ добавить вектор $\overrightarrow{BP_0}$,где $P_0$ точка на плоскости?

Да. Но зачем эта плоскость Вам нужна?

Цитата:

и почему нельзя искать пересечение сопряженных подпространств,если наши плоскости заведомо скрещиваются? (так как единственная прямая)

А кто сказал, что нельзя?
А просто рассказал, как бы решал я. Это решение хорошо тем, что не надо предварительно определять взаимное расположение исходных плоскостей.

[Алина:)]

спасибо огромное. осознала