Симметричное обыкновенное диф. ур-е с переменными коэфф.!

[MaestroAlex]

Вашему вниманию предлагается к решению уравнение:

u'' + (2x)u' + (x^2)u = 0

'заметим, что коэффициенты образуют полный квадрат

[EtCetera]

Попробуйте замену
$u=e^{\int z\,dx}$ (1)
После этого получается ОДУ первого порядка относительно $z+x$, которое решается простым интегрированием. А потом нужно взять интеграл от полученной функции и подставить в (1).

[GAA]

Если при помощи стандартной замены $u = ze^{-\int p(x)/2\, dx}$, где, в данном случае, $p(x) = 2x$, преобразовать уравнение $u’’ + 2xu’ + x^2u = 0$ к виду, не содержащему первой производной (см, например, [1]), то мы получим уравнение с постоянными коэффициентами.

ref.
[1] Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1967 (djvu); гл. 8, §1, n. 186 (Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной)

MaestroAlex, прочтите, пожалуйста, правила раздела и обратите внимание, в частности, на следующее: «если вы просите помощи в решении учебной задачи, то обязательно должны продемонстрировать свои содержательные попытки решения. Темы, содержащие только условие задачи, заведомо окажутся в карантине. И еще раз напоминаем, что обязательным является набор всех формул в нотации $\TeX$». Не удивляйтесь, если в следующий раз тема будет перемещена в Карантин.