2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 функциональное уравнение f(x+y)=f(x)+f(y)
Сообщение02.05.2009, 19:21 
можно ли явно построить функцию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ которая не была бы умножением на константу и такую, что
$f(x+y)=f(x)+f(y)$

 
 
 
 
Сообщение02.05.2009, 19:44 
Аватара пользователя
Явно нельзя. Но существование доказать можно. посмотрите обсуждение в теме http://dxdy.ru/topic21507.html
и
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation

 
 
 
 
Сообщение02.05.2009, 19:52 
shwedka в сообщении #210254 писал(а):
Явно нельзя.

это теорема?
shwedka в сообщении #210254 писал(а):
Но существование доказать можно. посмотрите обсуждение в теме http://dxdy.ru/topic21507.html
и
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation

спасибо, я в курсе

 
 
 
 
Сообщение02.05.2009, 19:54 
Аватара пользователя
terminator-II в сообщении #210258 писал(а):
это теорема?

Насколько могу судить, нет, просто народная мудрость. Все способы опираются на аксиому выбора или на эквивалентные утверждения.

 
 
 
 
Сообщение02.05.2009, 19:59 
Аватара пользователя
Нам на лекции по функану, кажется, говорили, что такая функция обязана быть неизмеримой, так что сильно вряд ли можно.

Хотя, конечно, что понимать под "явным". Лично я нахожу стандартное построение через базис Гамеля вполне себе явным. Вообще не вижу ничего "неконструктивного" в использовании аксиомы выборы. Как по мне, так она ничуть не менее интуитивно очевидна, чем аксиомы ZF.

 
 
 
 
Сообщение02.05.2009, 20:02 
Аватара пользователя
Ну, среди дифференцируемых как-бы только $kx$, а отличные от мне не интересны, так как не силен в извращениях.

 
 
 
 
Сообщение02.05.2009, 20:11 
Аватара пользователя
Поправляюсь. Теорема. ДОКАЗАНО, что в рамках аксиоматики ZF без несчетной аксиомы выбора построить невозможно

 
 
 
 
Сообщение05.05.2009, 22:34 
RIP в сообщении #210262 писал(а):
такая функция обязана быть неизмеримой

а как это доказать?

 
 
 
 
Сообщение05.05.2009, 23:56 
Аватара пользователя
terminator-II писал(а):
RIP в сообщении #210262 писал(а):
такая функция обязана быть неизмеримой

а как это доказать?

Не знаю.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 00:22 
Аватара пользователя
terminator-II
доказательство, ссылки и много другого можно найти в книге
Kharazishvili A.B. Strange functions in real analysis (M.Dekker, 2000),
в частности, интересующая Вас теорема доказана на стр. 144. книгу можно найто на poiskknig.ru

Или посмотрите в обзоре

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group