функциональное уравнение f(x+y)=f(x)+f(y)

[terminator-II]

можно ли явно построить функцию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ которая не была бы умножением на константу и такую, что
$f(x+y)=f(x)+f(y)$

[shwedka]

Явно нельзя. Но существование доказать можно. посмотрите обсуждение в теме http://dxdy.ru/topic21507.html
и
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation

[terminator-II]

shwedka в сообщении #210254 писал(а):

Явно нельзя.

это теорема?

shwedka в сообщении #210254 писал(а):

Но существование доказать можно. посмотрите обсуждение в теме http://dxdy.ru/topic21507.html
и
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation

спасибо, я в курсе

[shwedka]

terminator-II в сообщении #210258 писал(а):

это теорема?

Насколько могу судить, нет, просто народная мудрость. Все способы опираются на аксиому выбора или на эквивалентные утверждения.

[RIP]

Нам на лекции по функану, кажется, говорили, что такая функция обязана быть неизмеримой, так что сильно вряд ли можно.

Хотя, конечно, что понимать под "явным". Лично я нахожу стандартное построение через базис Гамеля вполне себе явным. Вообще не вижу ничего "неконструктивного" в использовании аксиомы выборы. Как по мне, так она ничуть не менее интуитивно очевидна, чем аксиомы ZF.

[Утундрий]

Ну, среди дифференцируемых как-бы только $kx$, а отличные от мне не интересны, так как не силен в извращениях.

[shwedka]

Поправляюсь. Теорема. ДОКАЗАНО, что в рамках аксиоматики ZF без несчетной аксиомы выбора построить невозможно

[terminator-II]

RIP в сообщении #210262 писал(а):

такая функция обязана быть неизмеримой

а как это доказать?

[RIP]

terminator-II писал(а):

RIP в сообщении #210262 писал(а):

такая функция обязана быть неизмеримой

а как это доказать?

Не знаю.

[shwedka]

terminator-II
доказательство, ссылки и много другого можно найти в книге
Kharazishvili A.B. Strange functions in real analysis (M.Dekker, 2000),
в частности, интересующая Вас теорема доказана на стр. 144. книгу можно найто на poiskknig.ru

Или посмотрите в обзоре