неизмеримое множество

[terminator-II]

Хочу поделиться одним примером неизмеримого по Лебегу множества в $\mathbb{R}$. Конструкция конечно сложнее чем в классическом примере Витали, но вроде бы и несколько идейней.

Рассмотрим $\mathbb{R}$ как линейное пространство над $\mathbb{Q}$. Обозначим это линейное пространство через $L$. Пусть $F$ -- базис Гамеля в $L$. Норму элемента $x\in L$ зададим следующим образом: если $x=\sum_{i=1}^nx_ie_{\nu_i}$ , $\{e_{\nu_i}\}\subset F$
то $\|x\|=\sum_{i=1}^n|x_i|\min\{k\in \mathbb{N}\mid |e_{\nu_i}|\le k\}$.

Норму принято задавать только для линейных пространств над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, однако на случай поля $\mathbb{Q}$ определение нормы переносится дословно.

Ясно, что $|x|\le \|x\|$ и потому, всякое множество, ограниченное в смысле введенной нормы, ограничено и в обычном смысле , как подмножество $\mathbb{R}$.



Обозначим $B_R(a)$ -- шар в $L$ радиуса $R$ с центром в $a$.



Утв. Множество $B_R(a)$ неизмеримо относительно меры Лебега в $\mathbb{R}$.

Док-во. Предположим, что это множество измеримо. Ясно, что $\mu(B_R(a))<\infty$

Поскольку $\cup_{n\in \mathbb{N}}B_n(a)=\mathbb{R}$ имеем $\mu(B_R(a))>0$.

Так как нормированное пространство $L$ бесконечномерно, то в шар $B_R(a)$ можно напихать бесконечно много непересекающихся шаров вида $B_r(x)$ c одним и тем же $r$, если только $r>0$ достаточно мало. Получается противоречие, ибо суммарная мера этих шаров равна бесконечности, в то время, как мера $B_R(a)$ конечна.

Ну что? Вроде ошибок нет, какие будут мнения?

[Лиля]

terminator-II в сообщении #211240 писал(а):

то в шар $B_R(a)$ можно напихать бесконечно много непересекающихся шаров вида $B_r(x)$ c одним и тем же $r$, если только $r>0$ достаточно мало.

это как можно напихать бесконечное количество непересикающихся шариков радиуса $r>0$ в конечный обьем? пусть даже $r$ очень мал -это ни какого значения не имеет -пусть обьем такого шарика будет равен $\epsilon$ т.е. $B_R(a)= \epsilon$ тогда существует $m\in N$ такое что $m\epsilon>\Omega$ любого наперед заданного $\Omega$

[terminator-II]

Лиля писал(а):

terminator-II в сообщении #211240 писал(а):

можно напихать бесконечно много непересекающихся шаров вида $B_r(x)$ c одним и тем же $r$, если только $r>0$ достаточно мало.

это как можно напихать бесконечное количество непересикающихся шариков радиуса $r>0$ в конечный обьем? пусть даже $r$ очень мал -это ни какого значения не имеет -пусть обьем такого шарика будет равен $\epsilon$ тогда существует $m\in N$ такое что $m\epsilon>\Omega$ любого наперед заданного $\Omega$

в бесконеномерном пространстве в шар можно напихать бесконечно много шариков одинакого радиуса. Это классический факт, будет неплохим для Вас упражнением. В бесконечномерном пространстве с понятием "объем" все не так просто.

[Лиля]

terminator-II в сообщении #211269 писал(а):

в бесконеномерном пространстве в шар можно напихать бесконечно много шариков одинакого радиуса. Это классический факт, будет неплохим для Вас упражнением.

пропустила бесконечномерность

terminator-II в сообщении #211240 писал(а):

ибо суммарная мера этих шаров равна бесконечности

полный бред

terminator-II в сообщении #211269 писал(а):

в бесконеномерном пространстве в шар можно напихать бесконечно много шариков одинакого радиуса.

а вам упражнение посмотреть почему это иммено так -вот и будет вам ответ на вопрос почему выше описанное Вами ерунда

[ewert]

terminator-II писал(а):

Пусть $F$ -- базис Гамеля в $L$.

Этого уже достаточно. Базис Гамеля -- вещь уже абсолютно безыдейная. Не менее, чем конструкция Витали; обе опираются на аксиому выбора. Но при этом Витали гораздо ближе к той аксиоме.

[AD]

Ну, в-общем, у меня такие вопросы. Во-первых, почему это норма? Во-вторых, почему меры шаров не зависят от расположения их центров? В-третьих, почему эти меры не равны нулю? Наверное, эти вопросы простые, но сейчас уже лень думать

ewert в сообщении #211316 писал(а):

обе опираются на аксиому выбора

А без нее, вроде, в принципе нельзя.

[ewert]

AD в сообщении #211340 писал(а):

А без нее, вроде, в принципе нельзя.

Ходят такие слухи (не знаю, насколько они доказаны). Но дело в том, что конструкция Витали ссылается на эту аксиому напрямую, а если действовать через базис Гамеля, то получается уже опосредованно. Какая уж тут идейность.

[AD]

ewert в сообщении #211343 писал(а):

Ходят такие слухи (не знаю, насколько они доказаны).

http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20&page=12
Ну тут чуть-чуть написано, но недостаточно, чтобы подтвердить слухи. Так что может и можно ...

[terminator-II]

AD в сообщении #211340 писал(а):

Во-первых, почему это норма?

аксиомы нормы выполнены.

AD в сообщении #211340 писал(а):

Во-вторых, почему меры шаров не зависят от расположения их центров?

потому, что мера Лебега инвариантна относительно сдвигов

AD в сообщении #211340 писал(а):

В-третьих, почему эти меры не равны нулю?

там написано

[AD]

Ладно, еще подумаю.

[Лиля]

terminator-II в сообщении #211390 писал(а):

потому, что мера Лебега инвариантна относительно сдвигов

-в бесконечномерном сепарабельном пространстве не существует инвариантной относительно сдвигов меры отличной от $0$ -именно это вы нам сдесь и демонстрируете в частном случае с мерой Лебега

[terminator-II]

ewert писал(а):

AD в сообщении #211340 писал(а):

А без нее, вроде, в принципе нельзя.

Ходят такие слухи (не знаю, насколько они доказаны). Но дело в том, что конструкция Витали ссылается на эту аксиому напрямую, а если действовать через базис Гамеля, то получается уже опосредованно. Какая уж тут идейность.

Ну, идейность не идейность не знаю. Это, в конце концов, дело вкуса. Под идейностью я подразумеваю вот что. В приведенном доказательстве факт существования неизмеримого множества интерпретируется в терминах геометрии бесконечномерного пространства. Ну не кажется Вам это интересным, ну что поделаешь. Насильно мил не будешь