Исследовать на сходимость ряд

[NatNiM]

Необходимо исследовать на сходимость ряд

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - \sqrt 2 } \right)^{4n} }}{{2^{2n + 2} }}} \]

Можно ли его так преобразовать или же это не верно?

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - \sqrt 2 } \right)^{4n} }}{{2^{2n + 2} }}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 2} \right)^{2n} }}{{2^{2n + 2} }}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{4}} \]

[Brukvalub]

Это неверно. Учите арифметику.

[vlad239]

Вообще-то чисто формально это верно. Претензия мне непонятна.

Влад.

[EtCetera]

Brukvalub!
Строго говоря, знак равенства в выражении
\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - \sqrt 2 } \right)^{4n} }}{{2^{2n + 2} }}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 2} \right)^{2n} }}{{2^{2n + 2} }}} (1)
стоит правильно, т.к.
$\left(-\sqrt{2}\right)^{4}=\left(\sqrt{2}\right)^{4}=2^{2}=\left(-2\right)^2$
Так что NatNiM нигде не ошибся.
Хотя как промежуточное звено в выкладках выражение (1) действительно несколько сомнительно.
Да и вообще задание странное.

Добавлено спустя 59 секунд:

vlad239, Вы меня опередили!

[Brukvalub]

EtCetera в сообщении #211276 писал(а):

Хотя как промежуточное звено в выкладках выражение (1) действительно несколько сомнительно.

Вот именно на это я и намекал. Хотя, признаюсь, не досмотрел, что формально получилось верно.

[NatNiM]

Brukvalub писал(а):

EtCetera в сообщении #211276 писал(а):

Хотя как промежуточное звено в выкладках выражение (1) действительно несколько сомнительно.

Вот именно на это я и намекал. Хотя, признаюсь, не досмотрел, что формально получилось верно.

Спасибо за участие и помощь! Вообще, надо было найти область сходимости ряда

\[ \frac{1}{{2^2 }} + \frac{{x^4 }}{{2^4 }} + \frac{{x^8 }}{{2^6 }} + \frac{{x^{12} }}{{2^8 }} + ... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^{4n} }}{{2^{2n + 2} }}} \]

Используя признак Даламбера определила область:

\[ - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \]

Стала проверять границы.
При \[ x = \sqrt 2 \]
получается ряд

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{2^{2n} }}{{2^{2n + 2} }}} \]

, который приводится к

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{4}} \]

При

\[ x = - \sqrt 2 \]

возникли сомнения, еще проверила в MathCad эту границу, предел не вычисляется.

[venja]

NatNiM писал(а):

Brukvalub писал(а):

EtCetera в сообщении #211276 писал(а):

Хотя как промежуточное звено в выкладках выражение (1) действительно несколько сомнительно.

Вот именно на это я и намекал. Хотя, признаюсь, не досмотрел, что формально получилось верно.

Спасибо за участие и помощь! Вообще, надо было найти область сходимости ряда

\[ \frac{1}{{2^2 }} + \frac{{x^4 }}{{2^4 }} + \frac{{x^8 }}{{2^6 }} + \frac{{x^{12} }}{{2^8 }} + ... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^{4n} }}{{2^{2n + 2} }}} \]

Используя признак Даламбера определила область:

\[ - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \]

Стала проверять границы.
При \[ x = \sqrt 2 \]
получается ряд

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{2^{2n} }}{{2^{2n + 2} }}} \]

, который приводится к

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{4}} \]

При

\[ x = - \sqrt 2 \]

возникли сомнения, еще проверила в MathCad эту границу, предел не вычисляется.

При

\[ x = - \sqrt 2 \]

получается тот же ряд, что при При

\[ x = \sqrt 2 \]

[NatNiM]

Ну, в принципе, да. Быть может только, что запись некорректа.
Только странно, что MathCad ругался. Будто что-то не так.
Получается, что границы принадлежат области сходимости?

[Brukvalub]

NatNiM в сообщении #211299 писал(а):

Получается, что границы принадлежат области сходимости?

У Вас на границах не выполняется даже необходимое условие сх-сти, как же их можно брать в область сх-сти?

[ewert]

NatNiM в сообщении #211299 писал(а):

Получается, что границы принадлежат области сходимости?

Естественно, не принадлежат.

NatNiM в сообщении #211291 писал(а):

При возникли x = - \sqrt 2 сомнения, еще проверила в MathCad

Зачем несчастный Маткад-то мучить? Сходимости не будет ни при плюсе, ни при минусе -- просто потому,что общий член не стремится к нулю.

[NatNiM]

[/quote]
Зачем несчастный Маткад-то мучить? Сходимости не будет ни при плюсе, ни при минусе -- просто потому,что общий член не стремится к нулю.[/quote]

Точно! Спасибо.