Задача по теормеху на условие равновесия

[ShMaxG]

Космическая станция вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси

$$ Oy $$

, сохраняющей неизменное направление в пространстве. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити, которая расположена в неподвижной относительно станции плоскости $xy$, если концы нити закреплены в точках

$$ A\left( {x_1 ,y_1 } \right) $$

и

$$ B\left( {x_2 ,y_2 } \right) $$

.

Пробую так:

Записываю выражение для потенциальной энергии:

$$ P = mg\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {y\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} + \omega ^2 \int\limits_{x_1 }^{x_2 } {x\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} $$

Длина нити (ограничение):

$$ I_0 = \int\limits_{x_1 }^{x_2 } {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} = l $$

Уравнение кривой находится как решение уравнения Эйлера

$$ \frac{d} {{dx}}\frac{{\partial f}} {{\partial y'}} - \frac{{\partial f}} {{\partial y}} = 0 $$

, где

$$ f = \left( {mg\rho y + x\omega ^2 + \lambda } \right)\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } $$

- подынтегральное выражение в функционале

$$ I + \lambda I_0 $$

.

Дальше трудности с нахождением $y(x)$ ...

[Утундрий]

При чем здесь $mg$? Речь скорее всего идет о равновесии в поле одной центробежной силы.

[ShMaxG]

Мда, и правда.

Ну тогда

$$ f = \left( {x\omega ^2 + \lambda } \right)\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } $$

,

$$ \eqalign{ & \frac{{\partial f}} {{\partial y}} = 0 \Rightarrow \frac{{\partial f}} {{\partial y'}} = C_1 \cr & \frac{{y'}} {{\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } }}\left( {x\omega ^2 + \lambda } \right) = C_1 \cr} $$

$$ y' = \frac{{C_1 }} {{\sqrt {\left( {x\omega ^2 + \lambda } \right)^2 - C_1^2 } }} \Rightarrow y\left( x \right) = C_2 + \int {\frac{{C_1 dx}} {{\sqrt {\left( {x\omega ^2 + \lambda } \right)^2 - C_1^2 } }}} $$

Так?

[Утундрий]

Почти. Уберите ограничение на длину нити. Так как она у вас нерастяжимая, то вы скорее всего не угадаете заранее с ее длиной) Ищите просто экстремаль, соединяющую две заданные точки.

[ShMaxG]

Ага, ну тогда еще проще:

$$ y\left( x \right) = C_2 + \int {\frac{{C_1 dx}} {{\sqrt {x^2 \omega ^4 - C_1^2 } }}} = C_2 + \frac{{C_1 }} {{\omega ^2 }}\ln 2\omega ^2 \left( {\omega ^2 x + \sqrt {x^2 \omega ^4 - C_1^2 } } \right) $$

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

причем "омегу" можно в

$$ {C_1 } $$

загнать

Добавлено спустя 2 минуты 36 секунд:

Правда, там в ответе стоит такое выражение:

$$ y\left( x \right) = c_1 + c_2 \int {\frac{{dx}} {{\sqrt {x^4 - c_2^2 } }}} $$

....

[Утундрий]

Так, а теперь давайте все заново с самого начала и по возможности не теряйте иксы...

[ShMaxG]

Я тут еще стараюсь другую задачу решать Но ничего.

Ну да, я еще в начале написал не энергию, а силу. Нужно писать

$$ P = \omega ^2 \int\limits_{x_1 }^{x_2 } {x^2 \sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} $$

Добавлено спустя 42 секунды:

И получается ровно как надо. Спасибо большое!

[Утундрий]

Что-то я и сам уже запутался. Омеги всякие... "Будем проще, сядем на пол" (с)

Удобнее крутить относительно $Ox$. Тогда потенциальная энергия кусочка $\{dx,dy\}$ пропорциональна $\[y^2 \sqrt {dx^2 + dy^2 } \]$. Стало быть ищем экстремали $\[\int {y^2 \sqrt {1 + \dot y^2 } dx} \]$. Зависимости от $x$ нет, что сразу дает интеграл

$$\[\frac{{y^2 }}{{\sqrt {1 + \dot y^2 } }} = const\]$$

.

Добавлено спустя 41 секунду:

Упс, опоздал немного. Ну, получилось и хорошо, что получилось.