Разложить в ряд Маклорена

[passenger]

$\frac{1}{1-\sin x}$
Уже второй час бьюсь. Буду благодарен за помощь.

[cepesh]

в окрестности какой точки???

[passenger]

cepesh писал(а):

в окрестности какой точки???

Ну если в Маклорена, то в 0.

[cepesh]

passenger писал(а):

cepesh писал(а):

в окрестности какой точки???

Ну если в Маклорена, то в 0.

Спасибо за ликбез. Просто наш лектор называл то, что вы понимаете под рядом Тейлора, рядом Тейлора-Маклорена.

[cepesh]

И до какого члена надо разложение построить? И в чем ваша проблема заключается?

[dm]

cepesh писал(а):

И до какого члена надо разложение построить? И в чем ваша проблема заключается?

Похоже, в том, что passenger нужен весь ряд.

$$\left(\frac{1}{1-\sin x}\right)^{(n)}=\frac{p_n(\sin x, \cos x)}{(1-\sin x)^n}$$

Можно попробовать решить рекуррентное соотношение на многочлены $p_n$:

$$p_{n+1}(u,v)=(\partial_1 p_n(u,v)\cdot v-\partial_2 p_n(u,v)\cdot u)(1-u)+p_n(u,v)\cdot nv,$$

$$p_0(u,v)=1.$$

Точнее нам интересны только

$$\left.\left(\frac{1}{1-\sin x}\right)^{(n)}\right|_{x=0}=p_n(0,1).$$

Можно переписать рекуррентное соотношение как систему соотношений на коэффициенты $c_{nij}$:

$$p_n(u,v)=\sum_{\substack{i+j\le n \\ i,j\ge0}}c_{nij}u^iv^j$$

и прорешать.

[passenger]

cepesh писал(а):

И до какого члена надо разложение построить? И в чем ваша проблема заключается?

Необходимо найти общий вид коэффициентов a_n$ в разложении функции f(x) = \frac{1}{1-\sin x} функции в степенной ряд \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n.
Ну, например, e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.. Может быть так понятней?

[Dan_Te]

Заменой переменной задача сводится к разложению тангенса в ряд Тейлора в точке $\pi/4$
Интересно, является ли это упрощением задачи?

[Гость]

A chto esli 1 cherez sin(pi/2), raznost´ sinusov zapisat´ cherez proizvedenie sin()cos(), a potom po formule Leibnitsa

[LynxGAV]

izvinite dm zabila zaiti
da no pohoje po f-le Leibnitsa poluchatsya te je samie mnog., gener funktsiya neimeyushaya real´nogo primeneniya

[незваный гость]

Не знаю, что сказать, скажу, как думаю.

$\frac{1}{1-\sin(x)}= \frac{1+\sin(x)}{1-{\sin(x)}^2}= \frac{1}{{\cos(x)}^2}+\frac{\sin(x)}{{\cos(x)}^2}= (\tg(x))'+(\frac{1}{\cos(x)})'$

Теперича,
$\tg(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2 n} (2^{2 n} - 1) B_{2 n}}{(2n!)} x^{2n-1} $, где $B_{n}$ - число Бернули;
$\sec(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n E_{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n}$, где $E_{n}$ - число Эйлера.

Ну, теперь совсем все просто:
$\tg(x))'=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2 n} (2^{2 n} - 1) B_{2 n}}{(2n!)} (2n-1) x^{2n-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n+2} (2^{2n+2} - 1) B_{2n+2}}{(2n!) (2n+2)} x^{2n}$;
$(\sec(x))' = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n E_{2 n}}{(2 n)!} (2n) x^{2 n-1}= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n E_{2 n}}{(2 n-1)!} x^{2 n-1}$ (константа при $n=0$ пропадает при дифференцировании).

Итого:
$\frac{1}{1-\sin(x)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{K_n}{n!} x^n$, где $K_n=\frac{(-1)^{n/2}2^{n+2}(2^{n+2}-1)B_{n+2}}{n+2}$ при четном $n$, и $K_n=(-1)^{(n+1)/2}E_{n+1}$ при нечетном $n$.

Угх

P.S. Спасибо Эрику Вейштейну [url]mathworld.wolfram.com[/url] - без него бы все эти форму'лы еще бы долго искал...
P.P.S. Тег [url] почему-то не работает...

[Dan_Te]

Прикольно.

Тег url работает так:

[url=http://mathworld.wolfram.com]ссылка[/url] или
[url]http://mathworld.wolfram.com[/url]

ссылка
http://mathworld.wolfram.com

Без http:// ничего не выйдет.