Теория обобщенных функций

[Кирилл Бондарев]

Помогите, пожалуйста, решить несколько задач по ТОФ. Скоро экзамен, а для допуска нужны задачи. сам пытался сделать - не получается...Плохо понимаю этот предмет...

1.Получить фундаментальное решение для уравнения Лапласа через преобразование Фурье.
2.Доказать, что любой функционал из $D'$ может быть получен из регулярного функционала с непрерывной плотностью применением операции дифференцирования
3.Получить фундаментальное решение для волнового уравнения

заранее спасибо за любую помощь!

[Парджеттер]

Кирилл Бондарев в сообщении #210146 писал(а):

1.Получить фундаментальное решение для уравнения Лапласа через преобразование Фурье.

А в чем здесь у Вас проблема? Опишите конкретные затруднения.

[Кирилл Бондарев]

я абсоютно не понимаю,как ее делать..просто дело в том,что примерно половину семестра в больнице пролежал и многую часть материала не слышал....

[shwedka]

Кирилл Бондарев в сообщении #210146 писал(а):

2.Доказать, что любой функционал из $D'$ может быть получен из регулярного функционала с непрерывной плотностью применением операции дифференцирования

Неверно.
контрпример:
$F(u)=\sum_{n=1}^{\infty}n!u^{(n)}(n)$

$u\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^1)$
Утверждение становится верным, если в формулировке заменить $ \mathcal{D'}$ на $ \mathcal{E'}$.

По какой книжке Вы учитесь??

[Кирилл Бондарев]

Владимиров, Жаринов - Курс ОДУ. там есть глава, посвященная ТОФ...

[shwedka]

На первый и третий вопросы подробный ответ есть в этой книге, стр. 144-148, 151-154.
На второй в ней ответа нет, чуть позже пришлю другую ссылку.

Добавлено спустя 56 минут:

Второй вопрос, в правильной постановке, то есть требуется, чтобы обобщенная функция была с компактным носителем, гораздо труднее. решение дано, например, в книге
Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975, стр. 177-180,
книгу можно скачать с [url]poiskknig.ru[/url]

Но с помощью преобразования Фурье решается так.
1. см Теорему на стр.130 книги, преобразование Фурье ОФ $f$ с компактным носителем удовлетворяет

$|\hat{f}(\xi)|\le C (1+|\xi|^2)^N$
для некоторого
$N.$

Запишем
$\hat{f}(\xi)=(\hat{f}(\xi)(1+|\xi|^2)^{-M})(1+|\xi|^2)^M\equiv G(\xi)(1+|\xi|^2)^M,$
где
$M$
выбрано таким большим, что
$G(\xi)\in L_1(\mathbb{R}^n)$; достаточно взять
$2M>2N+n$
Тогда функция
$g(x)=\mathcal{F}^{-1}G$
обратное преобразование Фурье
$G,$ непрерывна (почему??) и тогда
$f(x)=(1-\Delta)^Mg(x)$

то есть исходное распределение - результат применения дифференциального оператора к непрерывной функции.

[matanga]

Огромное вам спасибо!!!
Благодаря Вам, сдал экзамен на отлично!!!