Кратность корня для непрерывной функции

[_v_l]

Добрый день.

Моя коллега по кафедре математике, которая готовит школьников к ЕГЭ, спросила совета по такой задаче (женщина, намного старше меня и с большим опытом):
Найти сумму корней уравнения
3\tg{\pi x}+|\tg{\pi x}|=2\sin{2\pi x}
которые лежат на трезке $[-4;-1]$.

Подумав немного я пришёл к выводу, что вопрос поставлен некорректно: дело в том, что при вычислении суммы нужно учитывать кратность корней уравнения. Для полиномов всё просто, для дифференцируемых функций --- тоже. И встал вопрос: имеет ли смысл говорить о кратности корня для функции, о которой известно что она непрерывна, но не дифференцируема в точке нуля?

Приведу пример: рассмотрим функцию $f(x)$:
$ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} x-1 & x<1,\\ (x-1)^2 & x>1,\\ 0 & x=1. \end{array} $
Для данной функции легко найти корни уравнения $f(x)=0$, однако на вопрос о кратности корня нельзя дать ответ.

Вопрос: я прав, и данная задача не имеет смысла (сумма корней), а просто вопрос о корнях уравнения имеет? Понятие кратности корня нельзя однозначно определить для любой непрерывной функции, которая может быть и недифференцируемой в точке нуля?

P.S. Эта задача из варианта С (С2).

[gris]

_v_l писал: "для дифференцируемых функций --- тоже"

А как дать определение кратности корня (нуля, а тогда уж и любого значения!) для функции, которая дифференцируема в нём только конечное число раз? Как единица плюс номер последней производной, которая существует и равна нулю в этой точке?

Например, для похожей на Вашу функции $f(x)$:
$ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} (x-1)^3 & x<1,\\ (x-1)^4 & x>1,\\ 0 & x=1. \end{array} $

По моему, для функций определяеся не кратность корня, а кратность нуля, да и то в ТФКП

В школе кратность определяется только для квадратного уравнения (может быть в продвинутых курсах для многочленов ) как степень соответствующего сомножителя в разложении. И отвечая на вопрос "какова сумма корней уравнения $x^2-4x+4=0$?" школьник просто по теореме Виета ответит 4.

Для тригонометрических уравнений просто нет понятия кратности корня. Но продвинутый школьник на вопрос о сумму корней уравнения $\sin x=1$ на отрезке $[0;3]$ может почесать в затылке, сравнив это с аналогичным вопросом для уравнения $(2x-\pi)^2=0$

[ewert]

_v_l в сообщении #209348 писал(а):

Найти сумму корней уравнения

Под "суммой корней" здесь подразумевается просто "сумма решений", естественно, без учёта их кратностей. Именно потому, что понятие кратности не определено. Между прочим, даже для многочленов в случае теоремы Виета принято говорить не просто "сумма корней", а "сумма корней с учётом их кратностей" -- во избежание двусмысленности.

[Профессор Снэйп]

_v_l писал(а):

...дело в том, что при вычислении суммы нужно учитывать кратность корней уравнения.

С чего Вы это взяли? Чем Вам простая сумма без учёта "кратностей" не угодила?

Кстати, вот классическая функция, равная $e^{-1/x^2}$ при $x \neq 0$ и нулю в нуле. Бесконечно дифференцируемая, между прочим. Какова у неё "кратность корня"?

[_v_l]

gris писал(а):

А как дать определение кратности корня (нуля, а тогда уж и любого значения!) для функции, которая дифференцируема в нём только конечное число раз?

Думаю понятно, что это лишь небольшое усложнение проблемы и только. Пусть у функции $f(x)$ $n$-я производная непрерывна, а $n+1$ нет. Что мешает мне рассматривать $y^{(n)}(x)$ как исходную? Вопрос станет ближе и всё. Кстати ваш пример об этом и говорит. Рассмотрите $f^{(2)}(x)$.

gris писал(а):

По моему, для функций определяеся не кратность корня, а кратность нуля, да и то в ТФКП

Вопрос терминологии. Сейчас не смогу вам ответить точно, без погрешностей, но, раз уж речь зашла о ТФКП, в простых случаях можно определить кратность значения функции (см. по этому поводу сообщение Профессор Снэйп). К примеру: с какой кратностью принимает функция $f(x)$ значение $a$? Этот вопрос можно переформулировать как кратность корня функции $\phi(x)=f(x)-a$.

gris писал(а):

Для тригонометрических уравнений просто нет понятия кратности корня.

Ваш же пример противоречит вашим словам: уравнение $\sin x=1$ имеет корни $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$ кратности 2. Я полагаю, что достаточно очевидно (по крайней мере я так объяснял студентам технического вуза этот вопрос), что кратность полинома это степень множителя: $f(x)=(x-a)^n$, а для произвольной функции кратность --- наибольший порядок производной равной нулю в этой точке.
Если что-то непонятно в моих словах, то могу объяснить по подробнее, всё-таки разные школы, по разному учат :-).

ewert писал(а):

Под "суммой корней" здесь подразумевается просто "сумма решений", естественно, без учёта их кратностей. Именно потому, что понятие кратности не определено.

Проверил, говорится именно о сумме корней. "Сумма корней", "сумма решений" эти два термина подразумевают одно и тоже (я так полагаю, могу привести примеры). Если бы составители задачи были более внимательны, они бы так и сказали: "найти сумму разных корней уравнения, расположенных на отрезке $[-4;-1]$". А так ...

Пример: иногда в заданиях говориться "найти решения уравнения"
$f(x)=g(x),$
но вполне очевидно, что можно задачу эквивалентно переписать так
$f(x)-g(x)=0$
и поставить задание: найти корни уравнения.
Повторяю: за терминологию пока не ручаются, может быть мы понимаем немного разные вещи под этими терминами.

Профессор Снэйп писал(а):

Чем Вам простая сумма без учёта "кратностей" не угодила?

А если идёт речь о полиномах? Там работает и хорошо т. Виета. И здесь не вопрос моей догадки, желания или понимания, речь идёт о задаче по материалам ЕГЭ (я этим не занимаюсь, у меня лишь спросили совета).

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, вот классическая функция, равная $e^{-1/x^2}$ при $x \neq 0$ и нулю в нуле.

Скажу банальность: иногда в вещественном анализе (мат. анализе с $x\in\mathbb{R}$) трудно понять свойства функции, а в ТФКП становиться более понятно.
Ну а это известный пример Коши :-)). Кстати, равна нулю по определению. Если сможете, то скажите какой порядок полюса у этой функции в нуле :-)?
В данном случае вопрос (о кратности нуля) поставлен не корректно (ха: по следам т. Сохоцкого: пусть $A$ некоторое комплексное число, допустимое по т. Сохоцкого, какова его кратность, т.е. краность нуля уравнения $f(x)-A$? Вопрос дурацкий, но при некоторой осторожности на него можно ответить).

Кстати:
Резюме: позвольте мне сделать такое заключение на основе дискуссии
в данном примере задание поставлено не корректно;
понятие кратности можно определить только для узкого круга функций, с точки зрения ТФКП понятно для какого класса (сейчас не важны конкретные условия) и для каких точек.

Спасибо за дискуссию.

[ewert]

_v_l в сообщении #209767 писал(а):

Вопрос терминологии. Сейчас не смогу вам ответить точно, без погрешностей, но, раз уж речь зашла о ТФКП, в простых случаях можно определить кратность значения функции

Не в простых случаях, а всегда, т.е. для любой аналитической функции и в любой точке аналитичности.

_v_l в сообщении #209767 писал(а):

Я полагаю, что достаточно очевидно (по крайней мере я так объяснял студентам технического вуза этот вопрос), что кратность полинома это степень множителя: $f(x)=(x-a)^n$, а для произвольной функции кратность --- наибольший порядок производной равной нулю в этой точке.

Напрасно Вы так объясняли. Для совсем произвольной функции понятие кратности не особо осмысленно, для аналитической же оба определения эквивалентны (правда, во втором случае Вы на единичку сбились).

_v_l в сообщении #209767 писал(а):

Если бы составители задачи были более внимательны, они бы так и сказали: "найти сумму разных корней уравнения, расположенных на отрезке ".

Вопрос неоднозначный. Формально -- да, так гораздо аккуратнее. Фактически же -- такая аккуратность может необоснованно сбить ребёнка с толку, если он не знаком с понятием кратность корня (а опыт показывает, что многие незнакомы, и тем не менее умеют решать задачки довольно сознательно).

_v_l в сообщении #209767 писал(а):

Ну а это известный пример Коши ). Кстати, равна нулю по определению. Если сможете, то скажите какой порядок полюса у этой функции в нуле ?

Лично я -- ни за что не скажу: это не полюс, а существенно особая точка.

[_v_l]

ewert писал(а):

Не в простых случаях, а всегда, т.е. для любой аналитической функции и в любой точке аналитичности.

Если смотреть университетский курс ТФКП (не математики), то другие функции и не рассматриваются (о мероморфных функция имею представление; например $f(z)=|z|$ не "простой" случай :-).

Пример с $\tg$: здесь функция не аналитическая (я имею в виду тот пример, о котором шла речь вначале).

ewert писал(а):

Напрасно Вы так объясняли. Для совсем произвольной функции понятие кратности не особо осмысленно, для аналитической же оба определения эквивалентны (правда, во втором случае Вы на единичку сбились).

Раздел был ТФКП, там только об аналитических функциях мы и говорим (тех. вуз). Спасибо за единицу, ошибка :-((.

ewert писал(а):

... такая аккуратность может необоснованно сбить ребёнка с толку, если он не знаком с понятием кратность корня ...

Эта задача C2, т.е. можно сказать сложная.Насчёт кратности не буду говорить, не знаю. Я бы комплексные числа в школе давал, и не говорил школьникам, что если дискриминант отрицательный, то корней квадратное уравнение не имеет (а так иногда говорят), хотя некоторые учителя говорят полностью и правильно: нет вещественных корней у квадратного уравнения. Но это не моя сфера (школа).

ewert писал(а):

Лично я -- ни за что не скажу: это не полюс, а существенно особая точка.

Это я немного прогнал :-S. Профессор Снейп привёл пример функции $\mathrm{e}^{-1/x^2}$. Ясно, что для этой функции не имеет смысла говорить о кратности нуля, и я хотел намекнуть (неудачно), что у этой функции $x=0$ --- существенно особая точка.

Спасибо за дискуссию.

[ewert]

_v_l в сообщении #209802 писал(а):

, и не говорил школьникам, что если дискриминант отрицательный, то корней квадратное уравнение не имеет (а так иногда говорят),

В школе, вообще говоря, нет комплексных чисел. И если в данной конкретной школе их и впрямь нет, то формулировка "нет корней" -- абсолютно правильна. Более того: во всех вообще стандартных школьных задачах подразумеваются вещественные решения и только они.

Кстати, я считаю это методически правильным. Рассказывать про комплексные числа в школе (средней) хоть сколько-то всерьёз -- немыслимо. А говорить о них только в связи с квадратными уравнениями -- означает лишь сбивать детей с толку.

_v_l в сообщении #209802 писал(а):

Если смотреть университетский курс ТФКП (не математики), то другие функции и не рассматриваются (о мероморфных функция имею представление; например $f(z)=|z|$ не "простой" случай .

Мероморфные -- это всего лишь аналитические функции, удовлетворяющие дополнительно некоторому специальному (и практически естественному) требованию. Модуль не является аналитической функцией нигде.

_v_l в сообщении #209802 писал(а):

Пример с $\tg$: здесь функция не аналитическая (я имею в виду тот пример, о котором шла речь вначале).

Очень даже аналитическая. На своей области аналитичности. Вы, похоже, путаете функции аналитические и целые.

[VAL]

В школьном курсе, вообще, и в заданиях ЕГЭ, в частности, никаких кратных корней нет. Уравнение $x^2-4x+4=0$ по-школьному имеет один корень. И баста!
Хорошо это или плохо - отдельный вопрос. Но это факт.

[gris]

зато у школьников есть понятие одинаковых корней.

Цитата Мордкович "Алгебра 8" п. 4.24:" Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. "

[VAL]

gris писал(а):

зато у школьников есть понятие одинаковых корней.

Цитата Мордкович "Алгебра 8" п. 4.24:" Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. "

Эта фраза лишь подтверждает мою правоту. Как, впрочем, и Вашу.

Если же говорить более серьезно, приведенная цитата показывает, что приоритет отдается подсчету корней без учета кратности. Но без догматизма.

[vlad239]

Я вот даже задачу с подставой на эту тему придумал недавно

Числа $a$ и $b$ лежат в промежутке $[0,2]$. Какие значения может принимать сумма корней уравнения $x^2+(a+b+4)x+(ab+a+b+4)=0$?

Влад.

[_v_l]

Когда я задавал вопрос я имел в виду следующее.

Для начала нужно опеределить кратность корня. Начнём с полиномов.

1. Полином степени $n$

Пусть дан полином $P_{n}(x)$ степени $n$ с вещественными или комплексными коэффициентами:
$P_{n}(x)=a_{0}x^{n}+\dots+a_{n}$
Из алгебры известно, что его можно разложить на множители
$P_{n}(x)=(x-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdot\dots\cdot(x-a_{k})^{\alpha_{k}},$
где $a_{i}$ --- нуль полинома, $\alpha_{i}$ --- его кратность (по определению), $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}=n$.

Пусть числа $a_{1}$, $a_{2}$ и $a_{3}$ лежат в области $\mathcal{D}$. Тогда "сумма корней уравнения $P_{n}(x)=0$, лежащих в области $\mathcal{D}$" есть $\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\alpha_{i}a_{i}$.

2. Функция $f(x)$, аналитическая в области $\mathcal{D}$

Пусть у функции $f(x)$ имеется конечное число решений уравнения $f(x)=0$, расположенных в области $\mathcal{D}$, пусто это будут $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$. Например, в окрестности точки $a_{1}$ имеем
$f(x)=(x-a_{1})^{\alpha_{1}}\phi(x)$,
где $\phi(a_{1})\neq0$. Назовём число $a_{1}$ --- нулём кратности $\alpha_{1}$ функции $f(x)$. Это определение применимо и для $a_{2}$, $a_{3}$, и к тому же оно не противоречит кратности нуля для полиномов (это обобщение этого понятия).
Тогда задача "найти сумму решений уравнения $f(x)=0$, лежащий в области $\mathcal{D}$" имеем своим ответом сумму $\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\alpha_{i}a_{i}$.

Для аналитических функций, как и для полиномов в области $\mathcal{D}$ вполне корректно определено понятие кратности корня или решения уравнения и поэтому вопрос "сумма решения, лежащих в области $\mathcal{D}$" поставлен корректно и имеет однозначную трактовку.
Если бы нужна была сумма $\displaystyle\sum_{i=1}^{3}a_{i}$, то следовало бы поставить вопрос так: "сумма различных решений, лежащих в области $\mathcal{D}$".

3. Функция $f(x)$ непрерывная, но не аналитическая в $\mathcal{D}$

Рассмотрим простой пример:
$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} (x-1), & x<1\\ (x-1)^{2}, & x>1\\ 0 & x=1 \end{array}\right.$
Очевидно, что функция непрерывная, однако она не имеет производной в точке $x=1$. В этой же точке $f(1)=0$. Определить для такой функции порядок нуля (или кратность) невозможно (по определению).
Для этой функции и подобных ей вопрос "сумма корней уравнения, лежащих в области $\mathcal{D}$" следовало бы трактовать (а значит и задавать) в таком виде: "сумма различных решений уравнения, лежащих в области $\mathcal{D}$".

Рассмотрим пример, с которого я начал тему:
$3\tg{\pi x}+|\tg{\pi x}|=2\sin{2\pi x}$.
Перепишем это так
$\phi(x)=3\tg{\pi x}+|\tg{\pi x}|-2\sin{2\pi x}$
и $\phi(x)=0$.
Легко убедиться, что
$\phi(x)=\left\{\begin{array}{lc} \dfrac{4\sin^{3}{\pi x}}{\cos{\pi x}}, & \tg{\pi x}>0\\ \dfrac{2\sin{\pi x}}{\cos{\pi x}}(1-2\cos^{2}{\pi x}), & \tg{\pi x}<0\\ 0, & \tg{\pi x}=0. \end{array}\right.$

Задание с формулировкой "найти сумму корней уравнения ..." следовало бы трактовать по-разному, в зависимости от функции (1, 2 или 3).

В такой формулировке для рассмотренного примера задача не имеет смысла, однако имеет смысл вопрос "сумма различных решений уравнения, $\in\mathcal{D}$".

Если бы подобный вопрос был задан на устном экзамене (а об экзамене речь и идёт), то всё в порядке: можно разъяснить что да как, но если экзамен письменный --- формулировки должна быть чёткими, не предполагающими разных трактовок.

"Задав глупый вопрос, не ожидай на него внятный ответ".

Это я о себе :-)).

Вопрос (который я так и не задал в первом сообщении): можно ли определить кратность корня по-другому, чтобы задача в первоначальной формулировке имела смысл?

ewert писал(а):

Очень даже аналитическая. На своей области аналитичности. Вы, похоже, путаете функции аналитические и целые.

Целые и аналитические функции различаю, с этим, слава богу, всё в порядке, однако "язык мой --- враг мой" :-))
Я имел в виду функцию $\phi(x)$ (см. выше).

VAL писал(а):

В школьном курсе, вообще, и в заданиях ЕГЭ, в частности, никаких кратных корней нет.

Комметрировать не буду. Но математическая культура, как и и всякая культура, закладывается с детства, и учить ТАК ребят в школе я считаю кощунством. Но обсуждать решения министерства образования, как головой в чан с дерьмом, прощу прощения у более культурной части форума.

VAL писал(а):

Если же говорить более серьезно, приведенная цитата показывает, что приоритет отдается подсчету корней без учета кратности. Но без догматизма.

Мне эта фраза говорит лишь о том, кто составлял и для кого учебник. Никогда не был доволен изложеним материала в школьных учебниках.

ewert писал(а):

Кстати, я считаю это методически правильным. Рассказывать про комплексные числа в школе (средней) хоть сколько-то всерьёз -- немыслимо.

Про вещетсвенные числа --- тоже? Повторю свою мысль: рассказывать нужно, но вопрос в объёме (сколько по вашему "всерьёз"?), и как это сделать методически. Мне кажется, если и делать такую работу, то нужно перестраивать весь школьный курс математики. Но это моё личное мнение.

[ewert]

_v_l в сообщении #210143 писал(а):

Про вещетсвенные числа --- тоже?

С вещественными -- ещё хуже. Их даже в вузах толком обычно не излагают (нематематикам).

[gris]

Я тут пробежался по учебникам и программам. В стандарте, на который ориентированы все экзамены, конечно, нет ни кратностей, ни комплексных чисел. Но в профильных класах, на курсах, на факультативах, уж не говорю про спецшколы, изучают и теорему Безу и кратности. И применяют эти дела в методе интервалов, к примеру.

Я это к тому, что на устном экзамене, даже и на письменном, ученик может хотя бы пояснить свой ответ, а на тестировании - нет. Пока приведут в порядок это
ЕГЭ, тысячи школьниц обольются слезами. Но по другим предметам ещё хуже.