Помогите исследовать функционал

[Babby]

Математики!!! Помогите девочке-физику...
Не могу уяснить, является ли экстремум функционала минимумом или максимумом. Функционал вида
int((diff(y(x),x)/y(x))^2,x=0..1), y(0)=0, y(1)=a
Решение уравнения Эйлера - a^x
Лежандр дает: 2/y(x)^2>0
Решение уравнения Якоби - вроде бы С*x*а^x

т.е. кажется, что минимум, но есть сильные сомнения по этому поводу (с точки зрения физики). Есть ли ещё какие-либо условия, которые должны быть соблюдены для того, чтобы достигался минимум? Должно ли решение уравнения Якоби включать в себя решение уравнения Эйлера?

Очень была бы благодарна за помощь...

[Гость]

Ну неужели никто в МГУ на прославленном мех-мате не знает.
Посмотрело более 200 человек и никто не смог ответить. Либо все лентяи, либо все двоечники !

Сочувствующий

[незваный гость]

Милая девочка(-физик)!

Если я правильно понял, Вы пытаетесь минимизировать функционал $\int\limits_{0}^1\left(\frac{y'(x)}{y(x)}\right)^2 dx$, при граничных условиях $y(0)=0$ и $y(1)=a$. Уравнение Эйлера говорит, что если решение $\int f(x,y,y') dx$ существует, то оно удовлетворяет уравнению $\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right) = 0$. Т.е., в нашем случае, $\frac{y'^2}{y^3}-\frac{y''}{y^2}=0$. Общее решение имеет вид $\alpha e^{\beta x}$. Из первого граничного условия следует $\alpha=0$. Мораль: при $a \neq 0$ решения не существует, ни минимума, ни максимума.

[Гость]

незванный гость писал(а):

Если я правильно понял, Вы пытаетесь минимизировать функционал $\int\limits_{0}^1\left(\frac{y'(x)}{y(x)}\right)^2 dx$, при граничных условиях $y(0)=0$ и $y(1)=a$.

Приношу свои глубочайшие извинения... На самом деле граничные условия:
$y(0)=1$ и $y(1)=a$. А равенство нулю - это всего лишь опечатка...
Полагаю, при таких ГУ решение всё же существует. Так как же быть с видом экстремума?

[LynxGAV]

=))
alfa=1
beta=ln a
Или остаются сомнения?
A теперь думаем, что такой функционал. Что такое экстремали функционала?
Что фиксируем, что пляшет, что минимизируем. Что вообще происходит!
Кстати..
А помните принцип наименьшего действия?
Для каждой механической системы можно определить интеграл, называемый действием, который для действительного движения минимален, и, следовательно, вариация его равна нулю.
Консультации в "Механика" Лев Давыдовыч Ландау и компания.
Второй параграф кажется.

[Babby]

LynxGAV писал(а):

alfa=1
beta=ln a
Или остаются сомнения?

Сомнений не было и в начале... Но вопрос-то не в этом заключался...