2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 
Сообщение27.04.2009, 23:28 
Аватара пользователя
bundos в сообщении #208913 писал(а):
$z^{2n}-1=(z-1)(1+z+\cdots+z^{2n-1})=(z-1)(z+1)(1+\cdots+z^{2n-2})$; $\frac{(z^{2n}-1)^2}{z^{2n-1}(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{(1+\cdots+z^{2n-2})^2}{z^{2n-1}}$

И почему же вычет равен 1?
P.S. И запись $1+\ldots+z^{2n-2}$ не совсем хорошая, ибо очень неоднозначна, но будем считать, чё я Вас понял.

 
 
 
 
Сообщение27.04.2009, 23:54 
Как тогда искать коэффициент при $z^{2n-2}$ после возведения в квадрат $(1+\cdots+z^{2n-2})$ или можно канибудь попроще всё это сделать?

Добавлено спустя 10 минут 22 секунды:

Подправил, получил $z^{2n}-1=(z^2-1)(1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2})$, тогда после возведения в квадрат $1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2}$ коэффициент при $z^{2n-2}$ получается равен $n$.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 00:02 
Аватара пользователя
bundos в сообщении #208931 писал(а):
или можно канибудь попроще всё это сделать?

Ну, проще/сложнее --- это дело вкуса. Не вижу ничего сложного в таком решении.

bundos в сообщении #208931 писал(а):
Подправил, получил $z^{2n}-1=(z^2-1)(1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2})$, тогда после возведения в квадрат $1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2}$ коэффициент при $z^{2n-2}$ получается равен $n$.

Правильно.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 00:26 
Пусть задан числовой ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n)!(2n-2)!}$. Допустим я посчитал его сумму с точностью до 4-ёх значащих цифр. Как оценить погрешность?

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 00:33 
Аватара пользователя
Например, оцените остаток ряда как первый отброшенный член, умноженный на сумму убывающей геометрической прогрессии (типа, вспомните доказательство признака Даламбера).

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 03:42 
Просуммировать ряд: $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{n^2+a^2}$

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 15:55 
Аватара пользователя
bundos писал(а):
Просуммировать ряд: $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{n^2+a^2}$

Проинтегрируйте функцию $f(z)=\frac{\ctg\pi z}{z^2+a^2}$ по кругу радиуса $N+1/2$, $N\in\mathbb N$, и устремите $N\to+\infty$.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 19:49 
Получил $S=\frac{2\pi}{a}\cth {\pi a}$.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 20:35 
Аватара пользователя
bundos в сообщении #209187 писал(а):
Получил $I=\frac{2\pi}{a}\cth {\pi a}$.

Почти. Двойка лишняя.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 21:09 
$z=k, k=-N,-N+1,\cdots,N-1,N; z=-ia; z=ia$- полюсы первого порядка. $\lim\limits_{N\to \infty} \int\limits_{|z|=N+\frac1{2}}\frac{\ctg{\pi z}}{z^2+a^2}=0$. $0=2\pi i[\sum\limits_{k=-N}^{N}\frac1{\pi(k^2+a^2)}-\frac1{2a}\cth{\pi a})]$.

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 21:23 
Аватара пользователя
Неправильно посчитали сумму вычетов в точках $z=\pm ia$ (теперь лишняя двойка в знаменателе).

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 14:56 
В точках $z= \pm ia$ получил сумму вычетов $\frac{\cth {\pi a}}{a}$

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 15:39 
Аватара пользователя
bundos в сообщении #209483 писал(а):
В точках $z= \pm ia$ получил сумму вычетов $\frac{\cth {\pi a}}{a}$

Почти правильно. С минусом.

 
 
 
 
Сообщение29.04.2009, 15:54 
Вот ещё задача просуммировать ряд: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos {n\psi}}{\ch {n \alpha}}$. Помогите подобрать интеграл в комплексной плоскости.

 
 
 [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group