Ряды Лорана

[RIP]

bundos в сообщении #208913 писал(а):

$z^{2n}-1=(z-1)(1+z+\cdots+z^{2n-1})=(z-1)(z+1)(1+\cdots+z^{2n-2})$; $\frac{(z^{2n}-1)^2}{z^{2n-1}(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{(1+\cdots+z^{2n-2})^2}{z^{2n-1}}$

И почему же вычет равен 1?
P.S. И запись $1+\ldots+z^{2n-2}$ не совсем хорошая, ибо очень неоднозначна, но будем считать, чё я Вас понял.

[bundos]

Как тогда искать коэффициент при $z^{2n-2}$ после возведения в квадрат $(1+\cdots+z^{2n-2})$ или можно канибудь попроще всё это сделать?

Добавлено спустя 10 минут 22 секунды:

Подправил, получил $z^{2n}-1=(z^2-1)(1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2})$, тогда после возведения в квадрат $1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2}$ коэффициент при $z^{2n-2}$ получается равен $n$.

[RIP]

bundos в сообщении #208931 писал(а):

или можно канибудь попроще всё это сделать?

Ну, проще/сложнее --- это дело вкуса. Не вижу ничего сложного в таком решении.

bundos в сообщении #208931 писал(а):

Подправил, получил $z^{2n}-1=(z^2-1)(1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2})$, тогда после возведения в квадрат $1+z^2+z^4+\cdots+z^{2n-2}$ коэффициент при $z^{2n-2}$ получается равен $n$.

Правильно.

[bundos]

Пусть задан числовой ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n)!(2n-2)!}$. Допустим я посчитал его сумму с точностью до 4-ёх значащих цифр. Как оценить погрешность?

[RIP]

Например, оцените остаток ряда как первый отброшенный член, умноженный на сумму убывающей геометрической прогрессии (типа, вспомните доказательство признака Даламбера).

[bundos]

Просуммировать ряд: $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{n^2+a^2}$

[RIP]

bundos писал(а):

Просуммировать ряд: $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{n^2+a^2}$

Проинтегрируйте функцию $f(z)=\frac{\ctg\pi z}{z^2+a^2}$ по кругу радиуса $N+1/2$, $N\in\mathbb N$, и устремите $N\to+\infty$.

[bundos]

Получил $S=\frac{2\pi}{a}\cth {\pi a}$.

[RIP]

bundos в сообщении #209187 писал(а):

Получил $I=\frac{2\pi}{a}\cth {\pi a}$.

Почти. Двойка лишняя.

[bundos]

$z=k, k=-N,-N+1,\cdots,N-1,N; z=-ia; z=ia$- полюсы первого порядка. $\lim\limits_{N\to \infty} \int\limits_{|z|=N+\frac1{2}}\frac{\ctg{\pi z}}{z^2+a^2}=0$. $0=2\pi i[\sum\limits_{k=-N}^{N}\frac1{\pi(k^2+a^2)}-\frac1{2a}\cth{\pi a})]$.

[RIP]

Неправильно посчитали сумму вычетов в точках $z=\pm ia$ (теперь лишняя двойка в знаменателе).

[bundos]

В точках $z= \pm ia$ получил сумму вычетов $\frac{\cth {\pi a}}{a}$

[RIP]

bundos в сообщении #209483 писал(а):

В точках $z= \pm ia$ получил сумму вычетов $\frac{\cth {\pi a}}{a}$

Почти правильно. С минусом.

[bundos]

Вот ещё задача просуммировать ряд: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos {n\psi}}{\ch {n \alpha}}$. Помогите подобрать интеграл в комплексной плоскости.