Ряды Лорана

[ewert]

Да не этот синус, а внешний.

Но вообще-то непонятно, зачем этот интеграл считать: он равен нулю просто из-за нечётности.

[Someone]

bundos писал(а):

Cделал замену $z=e^{i\psi}$; $\sin{\psi}=\frac{z^2-1}{2iz}; \cos z=\frac{z^2+1}{2z}$; $I=\int\limits_{|z|=1}e^{\frac{z^2+1}{2z}}\sin{\frac{z^2-1}{2iz}}$.

А $d\psi$ куда делся?

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

А вообще, конечно, ewert прав: сделаем замену $t=\psi-\pi$, и получится интеграл от нечётной функции по промежутку $[-\pi,\pi]$.

[bundos]

RIP писал(а):

Если Вы про вычисление $I(p)$, то это точка ветвления. На нижнем и верхнем берегах отрезка $f(z)$ отличается на постоянный множитель ($z^{1/p-1}$ понимается как $e^{(1/p-1)\log z}$); собственно, отсюда синус и вылазит.

Подскажите литературу, где можно подробнее про это почитать.

Добавлено спустя 1 час 27 минут 15 секунд:

Всё нашёл...

Добавлено спустя 32 минуты:

Помогите найти интегралы: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\sin{nx}}{\sin x})^2dx$; $\int\limits_{|z|=1}\frac{1+z+...+z^{n-1}}{z^{\frac{2n-1}{2}}}dz$.

[RIP]

bundos в сообщении #208532 писал(а):

Помогите найти интегралы: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\sin{nx}}{\sin x})^2dx$; $\int\limits_{|z|=1}\frac{1+z+...+z^{n-1}}{z^{\frac{2n-1}{2}}}dz$.

В первом: сначала сведите промежуток интегрирования к $[-\pi;\pi]$, а затем перейдите к интегралу по окружности.
Во втором: А как понимать $z^{n-1/2}$? В любом случае ничего лучше формулы Ньютона-Лейбница предложить не могу.

[bundos]

RIP писал(а):

В первом: сначала сведите промежуток интегрирования к $[-\pi;\pi]$, а затем перейдите к интегралу по окружности.

Свёл, там получилось, что в нуле полюс порядка $2n-1$, как-то сложновато...

Добавлено спустя 35 минут 23 секунды:

Так, вроде решил, получил $I=\frac{\pi}{2}

Добавлено спустя 11 минут 5 секунд:

Проверьте

[bundos]

Подкиньте идею насчёт интеграла $I=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin ^2 x}{x^2}$

[vlad239]

По частям его, двойным углом и сводить к обычному $\frac{\sin{x}}{x}$

Влад.

[bundos]

Есть какие-нибудь другие способы вычисления интеграла $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$, кроме как по теореме о "половине вычета"?

[vlad239]

bundos писал(а):

Есть какие-нибудь другие способы вычисления интеграла $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$, кроме как по теореме о "половине вычета"?

Да. Приделать под интеграл еще что-нибудь и продифференцировать по параметру.

Например, см. второй том Фихтенгольца, страницы 772 и далее.

Влад.

[RIP]

bundos в сообщении #208646 писал(а):

Так, вроде решил, получил $I=\frac{\pi}{2}$

Неправильно. Вы в квадрат не забыли возвести?

[bundos]

RIP писал(а):

Неправильно. Вы в квадрат не забыли возвести?

Не забыл вроде, а сколько у вас получилось?

[RIP]

$\pi n/2$.

[bundos]

Вот что у меня получилось: $I=\int\limits_{|z|=1}\frac{(z^{2n}-1)^2}{4iz^{2n-1}(z-1)^2(z+1)^2}dz=\frac{2\pi i}{4i}\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=0}\frac{(z^{2n}-1)^2}{z^{2n-1}(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{\pi}{2}$.

[RIP]

Объясните, пожалуйста, последний переход.
P.S. Зря Вы $z^2-1$ разложили на множители.

[bundos]

$z^{2n}-1=(z-1)(1+z+\cdots+z^{2n-1})=(z-1)(z+1)(1+\cdots+z^{2n-2})$; $\frac{(z^{2n}-1)^2}{z^{2n-1}(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{(1+\cdots+z^{2n-2})^2}{z^{2n-1}}$