непонятны формулы приведения

[ximikat]

Здравствуйте! Мне непонятны формулы привидения (Макарычев, учебник 9 класс, стр.176).

$\sin (\pi/2+a)=cos a$
$\cos(\pi/2+a)=sin a$
Повернём радиус $OA$, длина которого равна $R$, на угол $a$ и на угол $\pi/2+a$. При этом радиус $OA$ перейдёт соответственно в радиусы $OB_1$ и $OB_2$
Опустим из точки $B_1$ перпендикуляры $B_1 C_1$ и $B_1 D_1$ на оси координат. Получим прямоугольник $OD_1 B_1 C_1$ около точки $O$ на угол $\pi/2$. Точка $B_1$ перейдёт в точку $B_2$, точка $C_1$ перейдёт в точку $C_2$ на оси $y$, точка $D_1$ - в точку $D_2$ на оси $x$, а прямоугольник $OD_1 B_1 C_1$ перейдёт в равный ему прямоугольник $OD_2 B_2 C_2$. Отсюда следует, что ордината точки $B_2$ равна абсциссе точки $B_1$, а абсцисса точки $B_2$, равна числу противоположенному ординате точки $B_1$. Обозначим координаты точки $B_1$ через $x_1$ и $y_1$, а координаты точки $B_2$ через $x_2$ и $y_2$. Тогда $y_2= x_1$ и $x_2= -y_1$.
Поэтому
$y_2/R=x_1/R$ и $x_2/R=-y_1/R$

Так вот мне тут непонятно
1. Откуда взялся у $-y_1$ этом минус? Ведь $y$ в первой и во второй четверти положителен (по тригонометрическому кругу).
2. Почему $x_2= -y_1$?
P.S. Извините за то, что не начертил рисунок, поскольку ещё познания в TEX нулевые. А модераторов прошу строго не судить за то, если что-то сделал не так. Я старался 3 часа.

[ewert]

ximikat писал(а):

Здравствуйте! Мне непонятны формулы привидения (Макарычев, учебник 9 класс, стр.176).

$\cos(\pi/2+a)=sin a$

Если Вам конкретно эта формула непонятна -- то правильно непонятна. Чего тока в нонешних учебниках не насмотришься.

Но, может, Вы просто неправильно смотрели?...

[Алексей К.]

ximikat писал(а):

Здравствуйте! Мне непонятны формулы привидения (Макарычев, учебник 9 класс, стр.176).

$\sin (\pi/2+a)=cos a$
$\cos(\pi/2+a)=sin a$

Учебник по какому предмету? Если по привИдениям, то они в математике не изучаются.
А формулы привЕдения выглядят так:
$\sin (\pi/2+a)=\cos a$
$\cos(\pi/2+a)={\Huge -}\sin a$

[ximikat]

Алексей К. писал(а):

ximikat писал(а):

Здравствуйте! Мне непонятны формулы привидения (Макарычев, учебник 9 класс, стр.176).

$\sin (\pi/2+a)=cos a$
$\cos(\pi/2+a)=sin a$

Учебник по какому предмету? Если по привидениям, то они в математике не изучаются.
А формулы привЕдения выглядят так:
$\sin (\pi/2+a)=\cos a$
$\cos(\pi/2+a)={\Huge -}\sin a$

Да, Алексей, именно эти формулы мне непонятны.

[Алексей К.]

Но я же исправил Ваш вариант --- по-прежнему непонятно?

[gris]

ximikat
есть очень простое правило. $\pi $ и $2\pi$ расположены горизонтально. Когда мы смотрим то на одно, то на другое, мы как бы мотаем головой в стороны и говорим - нет, название функции не меняется.
А для $\pi/2$ и $3\pi/2 $ мы мотаем головой сверху вниз и говорим - да, название функции меняется. Ну а для определения знака смотрим в ту четверть, где лежит выражение в скобках при $a\approx \pi/4$

[ximikat]

gris писал(а):

ximikat
есть очень простое правило. $\pi $ и $2\pi$ расположены горизонтально. Когда мы смотрим то на одно, то на другое, мы как бы мотаем головой в стороны и говорим - нет, название функции не меняется.
А для $\pi/2$ и $3\pi/2 $ мы мотаем головой сверху вниз и говорим - да, название функции меняется. Ну а для определения знака смотрим в ту четверть, где лежит выражение в скобках при $a\approx \pi/4$

Уважаемый, gris! Спасибо за ответ. Но мне всё равно непонятно то, о чём я спросил в первом сообщении на этой странице.

[ewert]

Вообще с формулами приведения реальная проблема. Кто-то какие-то четверти крутит, кто-то от избытка энтузиазма вообще перпендикуляры ставит. В результате народ в полном отрубе (в массе своей).

Фактически же всё просто. Надо лишь сосредоточиться на ключевых положениях.

1). Через два пи всё повторяется. Просто по определению.

2). Через пи всё меняет знак. (Имеются в виду синус с косинусом, разумеется). Вот это -- обосновывается действительно на кружочке, но банально.

3). Через четверть периода синус переходит в косинус и наоборот. С точностью до знака. С какой точностью -- не имеет значения. Достаточно запомнить базовую формулу $\cos({\pi\over2}-x)=\sin x$ и наоборот -- и всё остальноё элементарно на лету выводится. С учётом предыдущего.

Причём гораздо надёжнее выводится, чем всякие там лошадиные хвосты.

[gris]

Потому, что $x_2$ отрицателен. Он же является проекцией на ось абсцисс точки из второй четверти. С помощью геометрических построений мы сравниваем только абсолютные величины координат

[ximikat]

Уважаемый ewert
Хорошо.
$\cos({\pi\over2}-x)=\sin x$
Это ведь обратное:
$\cos({\pi\over2}+x)=-sin x$

Тогда почему в формулах:
$\sin({\pi\over2}+x)=\cos x$
$\sin({\pi\over2}-x)=\cos x$
при изменении знака в левой части уравнения перед $x$, в правой перед косинусом знаки не меняются?
Уважаемый gris!
Так что это получается? Тригонометрический круг при решении формул приведения во внимание не берётся?

[vlad239]

ewert писал(а):

Фактически же всё просто. Надо лишь сосредоточиться на ключевых положениях.

И эти ключевые положения - формулы синуса и косинуса суммы и разности.

Влад.

[ewert]

ximikat в сообщении #208872 писал(а):

, в правой перед косинусом знаки не меняются

Просто по чётности косинуса (да, я забыл соображения чётности/нечётности причислить к ключевым).

vlad239 в сообщении #208873 писал(а):

- формулы синуса и косинуса суммы и разности.

Это шибко сложно. Формулы приведения гораздо принципиальнее. Они ведь, по большому-то счёту, только из треугольничков с кружочками и растут.

[Алексей К.]

ximikat писал(а):

Тогда почему в формулах:
$\sin({\pi\over2}+x)=\cos x$
$\sin({\pi\over2}-x)=\cos x$
при изменении знака в левой части уравнения перед $x$, в правой перед косинусом знаки не меняются?

Он меняется, но не перед косинусом:
$\sin({\pi\over2}-x)=\Large{\cos (-x)=\cos(x)}$.

Добавлено спустя 1 минуту 43 секунды:

Вы же видите на рисуночке, что эти штуки непременно равны!

[ximikat]

Формулы сложения и формы двойного угла мне понятны.
Но вот я решал пример из учебника (не мог решить и заглянул в решебник).
В этом примере, в той части, что я его приведу, после нахождения косинуса двойного угла ещё необходимо сделать вычисления по формуле приведения (что у меня не получается, т.к. я непойму, как эти формулы работают). Привожу вторую часть этого примера:
$2cos(\pi/2+a)=-2sin\ a/2$
Вот что мне непонятно - как косинус стал отрицательным синусом в данном примере.

[ewert]

Конкретно поясняю. $\cos(\pi/2-a)=\cos(\pi/2-(-a))=\sin(-a)=-\sin(a)$.

Как видите, никаких загадок. Достаточно лишь опираться на очень ограниченное множества базовых правил.