Фундаментальные свойства степеней

[Коровьев]

У меня такое ощущение, что Petern1 читает только себя. На все вопросы развешивает длинные и не по делу портянки. У меня инет не быстрый, вот и жди, когда он расправится с декодировкой портянки.
Вы знаете, что все абсолютно все Ваши формулы - это рисунки на сервере и загружаются они уже с сервера, а их только от Вас на странице больше 200 штук!
Это ведь не текст, который идёт моментально.
Petern1, Вам Мат и shwedka конкретно указали место ошибки. А вы начали рассказку про изобретённый Вами деревяный велосипед. На этом форуме не единыжды уже была озвучена теорема о делимости

$$a^n - b^n$$

на $n$.
За то время, что Вы на форуме, можно было многократно хотя бы ознакомиться с основами теории чисел, где всё это есть.

[Petern1]

Shwedka

Уважаемая Shwedka, я Вам дал ответ (два ответа) только на первый Ваш вопрос. Он важен. Ответы на другие вопрсы будут дня через два.
Но скажите, обратная связь должна быть? Если по правилам форума обратной связи быть не должно, то я хочу попросить Вас быть столь любезной и сказать несколько слов удовлетворены ли Вы ответами на Ваш первый и тоже конкретный вопрс. Petern1

[shwedka]

Petern1
Да, с первым вопросом понятно.
Жду дальнейших развитий.

[yk2ru]

Petern1,
если изначально в выражении $a^n - b^n$ вместо $a$ подставлять $(a - b) + b$ и задаться вопросом, когда это выражение делится на $n$, то сразу можно и увидеть, что только если $(a - b)$ делится на $n$. Не нужны столь длинные выкладки, что вы привели с постепенным делением на $(a - b)$ выражений всё с меньшими показателями.

[Petern1]

Yk2ru

Shwedka задала более глубокий вопрс, чем то о чем вы говорите. Она задала вопрос могут ли числа $A_3$ (я так предлагаю обозначать неполные квадраты, с тем чтобы было меньше формул из-за дефицита мощности сервера) делиться на 3 при таких $a,b$, разность между которыми не равна 3 и не делится на3. Это ОЧЕНЬ важный вопрс!
И, как видите, она согласна с ответом.
Пожалуиста, подключайтесь к обсуждению но прежде попытайтесь достичь следующих знаний:
1) $a-b$ и $A_n$ взаимно простые числа. $n$ простое.
2) Если $a-b$ делится на $n$, то на $n$ обязательно делится и $A_n$
3) $A_n$ не может делиться на $n$ без того, чтобы и $a-b$ не делилось на $n$. Это совпадающие события.
4) Если $A_n$ делится на $n$, то ТОЛЬКО ОДИН раз. Деже и в тех случаях, когда $a-b$ делится на $n$ многократно.
Обоснование этим пунктам Вы найдете на стр. 15, а также на стр.2 ответ sctpticy. С уважением Petern1.

Добавлено спустя 2 часа 16 минут 43 секунды:

Shwtdka

Спасибо за обратную связь, да так вовремя, Как нибудь расскажу.
А теперь ответ на Ваш второй вопрос. Мы получили равенство
$3bc(b+c)=(x-c)(x^2+xc+c^2)$
Ваш вопрос: почему наличие 3 слева однозначно обязывает разность $x-c$ быть равной 3 или $3p$?
Обозначим $x-c=t,x=c+t$ Тогда подставим, получим
$x^2+xc+c^2=3c^2+3ct+t^2=3(c^2+ct)+t^2$. Эта сумма может делиться на 3, или содерж. множитель 3, только в том случае , если на 3 делтся $t$. При всех других $t$, не содержащих 3, эта сумма на 3 не делится ( см. аксиому после заглавия). Но
$t$ это же $x-c$.
Но мне кажется что я мог бы сказать Вам словами, что если полученные два сомножителя справа должны делится на 3, то на 3 делятся обязательно каждый из них. Я предполагаю, что Вы такое знание уже имеете. Так ли это?

Третий Ваш вопрос о ПОДМЕНЕ.

Было $x-c=3p$ стало $a-b-3p$. Вы правы. Надо проиндексировать
$x-c=3p_1,a-b=3p_2$. С уважением Petern1.

[Мат]

Petern1
Хоть с вашими последними выкладками и не согласен (уж сильно они просты, чтобы претендовать на доказательство), предлагаю вам решить задачу, которая как мне кажется открывает очень широкие перспективы в дальнейшем исследовании степеней:
Найти все решения уравнения:

$$(a^3+b^3)^2=x^3+y^3$$

[yk2ru]

Petern1, если истина в пункте 2, то ложь в пункте 1. Разве не так, взаимно простые числа и одновременно могут делиться на одно и то же простое число?

Добавлено спустя 11 минут 33 секунды:

Мат, а уравнение

$$a^3+b^3=x^3+y^3$$

вами уже решён, что сразу квадрат с одной стороны равенства предлагается?

[Мат]

yk2ru
Не мной, еще П.Ферма. Кстати, решение можно найти в книжке Серпинского.
http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm
http://dxdy.ru/topic20397.html
А вот квадрат интересен.

[shwedka]

Petern1

yk2ru в сообщении #207866 писал(а):

Третий Ваш вопрос о ПОДМЕНЕ.

Было $x-c=3p$ стало $a-b-3p$. Вы правы. Надо проиндексировать
$x-c=3p_1,a-b=3p_2$

непонятно

Но отвечайте на последний вопрос!!

[yk2ru]

Мат писал(а):

yk2ru
Не мной, еще П.Ферма. Кстати, решение можно найти в книжке Серпинского.
http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm
http://dxdy.ru/topic20397.html
А вот квадрат интересен.

Какое решение - в целых или рациональных числах имеется в виду? Если есть решение в рациональных, то значит и в целых?

[Мат]

yk2ru
К сожалению, в книжке решения нет, но оно есть у меня:

Цитата:

В задаче 12 книги V Диофант пишет: «а мы имели в Поризмах, что разность любых двух кубов есть сумма двух кубов». Очевидно, речь идёт о решении уравнения
$x^3 + y^3 = a^3-b^3$ (*)
где $a>b>0$ и $x, y$ — положительные. Однако, решение этой задачи в самой «Арифметике» отсутствует.

В своей книге, носящей странное название «Зететика», — слово, придуманное автором для обозначения науки о приведении различных проблем к уравнениям, — Виет ставит ещё две аналогичные задачи:
1) $x^3-y^3 = a^3 + b^3 (x>y>0, a>0, b>0)$,
2) $x^3-y^3 = a^3-b^3 (x>y>0, a>b>0)$.
Все три задачи он решает с помощью метода касательной Диофанта. Так, например, для решения задачи (*) Виет полагает
$x = t-b, y = a-kt$
и получает после подстановки
$t^3(1-k^3) + 3t^2(ak^2-b) + 3t(b^2-a^2k) = 0$.
Затем он требует, чтобы $b^2-a^2k = 0$, что равносильно требованию, чтобы прямая $y = a-k(x + b)$ была касательной к кривой (*) в точке $(-b, a)$, и находит

$$t=\frac{3a^3b}{a^3 + b^3}$$

Аналогично решаются и две другие задачи.
Впоследствии Ферма добавил к трём задачам Виета ещё одну,
$x^3 + y^3 = a^3 + b^3$.
Она вызывала затруднения, так как при её решении обычным способом либо $x$ либо $y$ получаются отрицательными, т.е. сумма двух кубов представляется не суммой двух новых кубов, а их разностью. Ферма вышел из затруднения, осуществив при помощи подстановки $x=t+l$ сдвиг всей кривой. Он очень гордился этим, называя такой сдвиг, который он применял и в других случаях, «мой метод».

[yk2ru]

В книжке как раз решение есть.
По формулам из книжки получил
$9^3 + 15^3 = 18^3 - 12^3$

А если вместо $3$ любое другое простое число, что можно сказать про такие случаи?

[Мат]

yk2ru
Более интересным является уравнение, где в обеих частях плюсы.
Для $5$-х степеней:
Если $a+b=x+y$, то:
$a^5+b^5=x^5+y^5$ решений не имеет ни для каких $a, b, x, y >0$

[yk2ru]

Что из $3^3 + 5^3 = 6^3 - 4^3$ получится по Ферма, применяя его "сдвиг"?

[Мат]

yk2ru
Не знаю. Я не совсем понял данный метод. Да и вообще сами решения данных задач. Полагаю, для его освоения необходимо понять метод касательной Диофанта, который использует Виет (мне он тоже не совсем понятен), когда приравнивает одно из слагаемых к нулю.
Видимо из построения кривой станет понятно, каким образом она сдвигается по методу Ферма.