Логарифмическая производная

[neo66]

Пусть $f(z)$ - голоморфна в проколотом круге $0<|z|<1$, а логарифмическая производная $\frac {f'(z)} {f(z)}$ имеет полюс первого порядка в нуле.
Доказать, что $f(z)$ имеет в нуле или нуль или полюс.

[ewert]

$${f'_z(z)\over f(z)}={\alpha\over z}+g(z)$$

, где $g$ аналитична. Фиксируем любую точку $z_0\neq0$, в которой $f(z_0)\neq0$. Берём произвольную точку $z\neq0$, в которой опять же $f(z)\neq0$. Тогда

$$\ln f(z)-\ln f(z_0)=\alpha\ln{z\over z_0}+G(z,z0),\qquad G(z,z_0)\equiv\int_z^{z_0}g(w)dw$$

(путь интегрирования выбирается любым, не проходящим по нулям функции $f$);

$$f(z)=f(z_0)\cdot \left({z\over z_0}\right)^{\alpha}\cdot e^{i\theta}\cdot e^{G(z,z0)}.$$

Множитель $e^{i\theta}$ мог бы возникнуть при дробных $\alpha$ (которые в условиях задачи фактически невозможны) -- из-за неоднозначности логарифмов. Но это не имеет значения: в любом случае все сомножители справа, кроме $z^{\alpha}$, равномерно по $z$ отделены по модулю и от нуля, и от бесконечности. А это означает, что $|f(z})|$ двусторонне оценивается через $|z|^{\alpha}$. Такое возможно только тогда, когда точка $z=0$ является нулём функции ($\alpha>0\ \Rightarrow\ f(z)\to0$) или полюсом ($\alpha<0\ \Rightarrow\ f(z)\to\infty$). В последнем случае стоит ещё оговорить, что начальное предположение $f(z)\neq0$ не существенно -- если функция равномерно уходит в бесконечность по не нулям, то в окрестности предельной точки нулей вообще не может быть.

[neo66]

Это, похоже, правильно. Интересно, что, если полюс логарифмической производной в нуле второго порядка или выше, то функция $f$ спокойно может иметь в нуле существенную особенность.

[RIP]

neo66 в сообщении #207696 писал(а):

Интересно, что, если полюс логарифмической производной в нуле второго порядка или выше, то функция $f$ спокойно может иметь в нуле существенную особенность.

Не может, а просто обязана.

[neo66]

Я имел в виду, что существуют функции с существенной особенностью в нуле, логарифмическая производная которых имеет в нуле полюс второго порядка, например $f(z)=e^{\frac 1 z}$.

[RIP]

А я имел в виду, что если у логарифмической производной в нуле полюс порядка $\ge2$ (или существенная особенность), то у самой функции в нуле обязательно будет существенная особенность.

[neo66]

Несомненно.

[ewert]

neo66 в сообщении #207696 писал(а):

Это, похоже, правильно.

не считая того, что пределы интегрирования перепутаны-таки