|
В предыдущих сообщениях я обещал более «прозаичное» объяснение повторяемости распределений, приведенных в обсуждаемой статье (О реализации дискретных состояний…Группа авторов Шноль, Коломбет и др.), но чисел у меня еще не было. Я делал ставку на то, что распределения никогда не стоят на месте, а постепенно перетекают в похожие и не очень фигуры (мои многочисленные компьютерные опыты подтверждают это). Все дело в том, за какое время. В распределении энергий для хаотичного движения газа, я надеялся получить такое «перетекание» примерно 1000-10000 раз в секунду. Возможно, так и есть на самом деле, но мое компьютерное моделирование, очень приближенное конечно, показало 15 секунд. Это не время счета, а предполагаемое время для реального процесса, когда картина распределения изменится достаточно. Таким образом, обещанное более «прозаичное» объяснение повторяемости распределений не получилось.
Однако исследование природы идеального случайного я нахожу достойным вашего внимания, и поскольку оно имеет независимое значение, прикрепляю его архивом к сообщению.
Попробуй, прикрепи! Прошу прощения за полный текст без картинок. Вышлю всем заинтересованным лицам по почте.
ВОЗВРАЩАЯСЬ К ОСНОВАНИЯМ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ, ВОЗРАЩАЯСЬ К ПАСКАЛЮ
Черный Е.Н. Николаевский кораблестроительный институт <black_en@mail.ru>
1. Случайное событие в его идеальном проявлении
Какую бы книгу по теории вероятности мы не взяли, нигде не найдем определения случайного собы-тия. Это не случайно, его попросту нет. Нет такого определения, опираясь на которое, можно было бы ут-верждать, что падающая монета или бесконечная последовательность цифр иррационального числа (1,4142… 3,1415…) – это случайный процесс в чистом виде. А радиоактивный процесс, например, - это смесь случайного процесса с закономерным физическим процессом. Ясное определение случайному собы-тию дал Паскаль, но на это никто не обратил внимания. Не обратили внимание на то, что для понимания случайного события Паскаль сделал примерно тоже, что Галилей для падения тел – они оба сумели отде-лить случайное от закономерного.
Попробуем восстановить ход мыслей Паскаля, это очень важно сегодня, когда можно прочитать «это распределение подчиняется нормальному закону, а это закону Пуассона». Для меня это звучит при-мерно так «это камень имеет большую скорость падения, поскольку у него ускорение свободного падения больше». Читаем в послесловии у Чернавского «Известно, что имеется много разных хаосов… Можно ус-ловиться считать, какой именно хаос называть истинным или идеальным». Далеко же мы уйдем в понима-нии случайных явлений, если вместо ясных определений положим в основание «общественный договор». Имеется много разных скоростей падений тел, но ускорение свободного падения одно для всех. Имеется много разных хаосов, но истинный или идеальный хаос один единственный, и описывается он нормальным законом.
Что же положил Паскаль в основание случайного явления? Равновероятность, и этого единственно-го принципа оказалось достаточно, чтобы отделить все закономерные явления, оставив случайное событие в его чистом виде. Уточним понятия на примере падающей монеты со сторонами «0» и «1». Построим де-рево всех возможных событий, считая их равновероятными. Тогда, спускаясь по любой из ветвей, получаем реализацию всех возможных событий, а, суммируя номера событий (это «0» и «1») получим новое понятие – энергию цепочки событий. Без этого понятия в науке о случайном также неудобно, как без числа в ариф-метике.
(Здесь должны быть картинки с текстом. Текст даю)
Возможные исходы после 1-го падения монеты. Только 2 воз-можных исхода в реализации из 2-х событий и две различные энергии E="0" и E="1"
После 2-го падения монеты. 4-ре возможных исхода в реализа-ции из 8-ми событий и 3 различные энергии (с учетом повто-ряемости E="0"-1 раз E="1"-2 раза E="2"-1 раз).
После 3-го падения монеты. 8 возможных исходов в реализа-ции из 24-х событий и 4 различных энергии (с учетом повто-ряемости E="0"-1 раз E="1"-3 раза E="2"-3 раза E="3"-1 раз).
Рис. 1. Показано начало дерева всех возможных событий при бросании монеты. Каждое из событий рав-новероятно по отношению к другим – в чем это проявляется? Прежде всего, в определенной симметрии событий. Например, число выпадений сторон «0» и «1» должно быть одинаково. Но одной симметрии ма-ло для обеспечения случайности. Так, если в реализации из 1000 событий будут следовать 500 «нулей», а потом 500 «единиц», то симметрия будет, а непредсказуемость или апериодичность – нет. Для того чтобы констатировать непредсказуемость, необходимо ввести новое понятие - энергию цепочки последователь-ных событий (ветки дерева). Тогда это новое понятие будет подчиняться закону, который сегодня называ-ется нормальным или Гауссовым распределением, и это распределение будет гарантом непредсказуемо-сти, и, следовательно, строгим определением случайной величины в ее идеальном проявлении.
Рис. 2. Если выполняется условие равновероятности событий, то это означает, что в реализации присут-ствуют все события по любой из веток дерева, а каж-дая из веток повторяется столько же раз, как и любая другая. Это есть необходимое и достаточное условие идеальной последовательности случайных событий и одновременно нормальным законом.Что значит «необходимое» условие? Это значит полная симметрия всех событий. Что значит «достаточ-ное» условие? Это значит полное соответствие проверяемой на случайность последовательности, пока-занным на рисунке фигурам. Если соответствие полное, то случайная последовательность идеальна – она не содержит примесей закономерного. Например, мы убедились в том, что частоты повторений сторон мо-неты «0» и «1» равны. Первый тест пройден, переходим ко 2-му: проверяем нашу последовательность на соответствие фигуре b. Для этого разбиваем всю последовательность на цепочки из 2-х событий и прове-ряем повторяемость энергий по схеме: E="0"-1/4 раз, E="1"-2/4 раз, E="2"-1/4 раз. И т.д. до бесконечности.
На самом деле не до «бесконечности», конечно, а до разумно длинных цепочек событий по отноше-нию к общей протяженности всей реализации.
Фигуры, показанные на рис.2 были известны Паскалю, но он связывал их только с вероятностью по-явления того или иного события. Правило, по которому они вычисляются, было известно задолго до Паска-ля – это треугольник для вычисления биномиальных коэффициентов (сегодня это треугольник Паскаля), но Паскаль, по сути, первым показал, как получается нормальный закон. Для определения идеального случай-ного ничего более и не надо. Понятие энергии пришло в механику позже, а еще позже распределение энер-гий Максвелла, а потом распределение энергий излучения абсолютно черного тела.
Хочу надеяться, что выше было наглядно показано, как равновероятность трансформируется в нормальный закон для энергий цепочек событий. Теперь остановимся на том, как нормальное распределе-ние гарантирует непредсказуемость.
Пусть мы имеем 24 события.
Расположив их в последовательности 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 – мы удовлетворя-ем первое условие нормального закона (см. фигуру «а» на рис.2), но не получим распределение для цепо-чек по два события (см. фигуру «b» на рис.2).
Расположим события так, чтобы выполнялось 2-е условие, но при этом последовательность была периодичной (0,0, 0,1, 1,0, 1,1,).. (0,0, 0,1, 1,0, 1,1),.. (0,0, 0,1, 1,0, 1,1) – но тогда не удовлетворяется распределение для цепочек по три события.
Сколько бы я не экспериментировал, мне ни разу не удалось «протащить» закономерность, выра-жающуюся в периодичности. Если сбой давало первое условие, то срабатывало второе, не второе так третье, и т.д. Следует подчеркнуть, что нормальный закон не дает нам способа генерации последователь-ности случайных событий, но дает прекрасный способ их идентификации. Что же до способа генерации то здесь уместно правило – «случайное сопутствует закономерному».
Падающая монета управляется начальными условиями, тяготением и аэродинамическим сопротив-лением. А сторона, на которую она упадет – только нормальным законом. Пирсон 10000 раз подбрасывал монету. Я меньше, но, сравнив свои результаты с генератором случайных чисел, вообще перестал пользо-ваться монетой. Когда мне говорят, что некое распределение случайной величины подчиняется распреде-лению Пуассона, то я спрашиваю «тогда почему монета никогда его не показывает, почему есть генератор случайных чисел, но нет генератора случайных чисел под распределение Пуассона»?
Аналогичная ситуация и с последовательностью цифр в иррациональном числе – число не случай-но, а последовательность цифр в числе выдерживает все тесты на случайность. Это неоднократно прове-рялось, более того сама суть иррационального числа в том, что это не периодичная последовательность цифр, иначе оно было бы рациональным. Попробуйте исключить периодичность (закономерность в более строгой формулировке) и при этом не получить хаос. Пока это никому не удавалось. То, что идеальная слу-чайная величина управляется одним и тем же нормальным законом вовсе не означает, что ее реализации должны быть похожи. Последовательность цифр корня из 2-х никогда не повторяет последовательности числа «пи». Каждая последовательность случайных событий уникальна (как и всякий идеальный хаос, это то же самое), но разве это мешает им быть «нормальными».
Выше был рассмотрен 2-х альтернативный случайный процесс типа «падающая монета». Он что исчерпывает все знания об идеальном случайном? Разве Паскаль не знал об игральных костях? У играль-ной кости 6 сторон или альтернатив, какой «треугольник» применять к этому процессу? Если газ не одно-атомный, то он скорее будет ближе к кости, чем к монете, потому что имеет несколько степеней свободы. Причем эти степени свободы физически не обязаны быть абсолютно симметричными. Предполагаю, что природа создавала эти объекты совершенно по другим критериям.
Если степени свободы не абсолютно симметричны, например поступательная и вращательная, то нельзя говорить и об абсолютной случайности процесса. А если симметричны, как у игральной кости? Тогда предлагается формальный прием сведения N – альтернативного процесса к 2-х альтернативному. Зануме-руем все альтернативы кости – 0,1,2,3,4,5. Обратимся к двоично – шестиричной системе счисления, но при этом нам придется иногда выписывать «левые» нули для восстановления симметрии общего числа 0 и 1, что обычно не делается в обычной арифметике. Нумеруем:
0=00 3=11
1=01 2=10
4=100 5=101
Хорошо видно, что первые две строки имеют не только числовую (суммарное число 0 и 1 одинаково), но и пространственную симметрию. Последняя симметрия желательна, но осуществима только при числе аль-тернатив кратных 2 в степени N: 2,4,8,16… Как видим шестерка выпадает из этого ряда, но если число со-бытий достаточно велико (положим 1 000 000), то эта не симметрия никак не скажется. Аналогичный прием я применял для анализа последовательности цифр числа «пи» на случайность и убедился в его примени-мости:
0=000 7=111
1=1 8=1000
2=010 4=100
3=011 6=110
5=101 9=1001
Число 0 и 1 здесь выдержано, однако пространственная симметрия хромает на обе ноги. Но, как уже упо-миналось, она «тонет» в большом числе опытов. Можно пойти другим путем – сразу перевести число «пи» в двоичное. Я этого не делал, но предполагаю положительный результат и в этом случае. Лейбниц в свое время искал закономерность в построении числа «пи», и как один из вариантов рассматривалась двоичная последовательность, он надеялся в ней найти закономерность. Тогда трансцендентность этого числа еще не была доказана, позже Лейбниц нашел закон построения этого числа через бесконечный ряд, но это был закон для числа, а вот очередная значащая цифра этого числа так и осталась непредсказуемой или слу-чайной.
Теперь покажем, как проверяется последовательность событий на случайность. Монету бросать не будем, ограничимся генератором случайных чисел.
1) Тест №1 - на 1-м миллиарде событий частота повторений сторон
«0»=1/1.99993 «1»=2.00007;
2) Тест №2 - на 1-м миллиарде событий частота повторений энергий для цепочек из 2-х событий
«00»=1/3.99995 «01»=1/4.00019
«10»=1/4.00027 «11»=1/3.99961
2) Тест №3 - на 1-м миллиарде событий частота повторений энергий для цепочек из 3-х событий
«000»=1/8.00024 «001»=1/8.00022
«010»=1/7.99970 «011»=1/8.00265
«100»=1/7.99998 «101»=1/8.00015
«110»=1/7.99894 «111»=1/7.99826
Должен признаться, что это не был чистый тест генератора случайных чисел, я внес «отсебятину», заключающуюся в том, что генерировались не «0» и «1» а без знаковый байт (0..255), который затем трансформировался в нули и единицы через его битовое представление. Так что если у разработчиков ге-нератора для Делфи-7 будут претензии ко мне, что на самом деле их генератор дает более стабильные цифры, я поверю.
Мы показали случайное событие в его идеальном проявлении. Как видите, можно обойтись без «до-казательства центральной предельной теоремы при чрезвычайно общих условиях», без лукавой аксиома-тики, когда аксиоматика есть, а строгого определения случайного события нет. Треп не нужен там, где есть ясность, где есть число.
Необычайно важно понимать, что дискретные распределения есть в природе, а непрерывные толь-ко в наших головах. Иначе нам никогда не понять, как удалось Планку из опыта вытащить величину, по крайней мере, на 10 порядков меньшую, чем ту, которую могли фактически регистрировать приборы. Все дело в том, что как бы ни была мала порция энергии (у нас это отношение стороны квадратика к протяжен-ности всей фигуры) именно она определяет очертание фигуры. Если вы помните, то постоянная Планка родилась как произвольная постоянная, варьируя которой он нашел наилучшее приближение к эксперимен-тальной кривой. Я готовлю такие фигуры, пока речь там идет о разности порядков всего лишь в один (много 2) раз, но результаты обнадеживают нас в том, что возможно существует минимальный квант энергии, из которого соткана материя. Напомню, что сейчас речь идет только о минимальном «действии».
Наука о случайном нужна нам не только для игры. Это мощный инструмент в познании природы, только надо искать по настоящему, а не в очередной раз добиться «расширения и обобщения закона боль-ших чисел». Что дает нам серьезный анализ случайного? Например, то, о чем уже упоминалось выше – не-прерывных случайных событий не бывает, их нет не только в природе, их невозможно построить логически. Планк показал, что и через десять порядков дискретное остается дискретным. Покажите мне предельный переход, в котором удерживается влияние величин 10-го порядка малости. Если уйдет дискретность, то уй-дет и случайность, ведь именно дискретное порождает случайное.
Мало кто знает, что Эпикур критиковал Демокрита именно за отсутствие непредсказуемости в его дискретном мире «у него нет случайного (спонтанного) отклонения от прямой, в дискретном мире это не-возможно». Когда я построил простейшую модель дискретного пространства, то убедился в правоте Эпику-ра – там, в принципе не может быть идеальных прямых Евклида, только приближения к ним, тем большие, чем больше разница между протяженностью отрезка и протяженностью кванта пространства. А необрати-мость? Уберите случайное из механики, и все процессы станут обратимыми, как это и следует из законов Ньютона. Но убрать случайное это значит убрать дискретное (квант протяженности пространства, квант времени и квант энергии), что же тогда останется от природы? Только курсы физики с дифференциальны-ми уравнениями, порождающими исключительно обратимые процессы.
Наличие случайного в 1000 раз убедительнее подтверждает дискретные основания материи, чем все курсы квантовой механики. Но пока не время. Сейчас время теорем и исчисления вероятностей, а что до выяснения глубинных причин случайного, то всем достаточно формальной аксиоматики вроде: «Каждо-му элементу сигма - алгебры системы событий S предписывается число P(A), называемое вероятностью данного события, для которого устанавливаются следующие ограничения (далее три очевидных ограниче-ния вроде того, что вероятность не может быть меньше 0 и больше 1). Какая глубина! Какая смелость, и какая стройность!
Все находят естественным, что последняя значащая цифра измеряемого числа определяется по-грешностью измеряемого прибора и вследствие этого может быть случайной. Другими словами ничего нельзя измерить точнее, чем цена деления прибора. А когда это же самое явление переносится на микро-мир, где возможно есть минимальный квант энергии и из-за этого ничего нельзя измерить точнее этого кванта, то это уже принцип неопределенности. Какая принципиальная разница!
|
