Смежные классы в группе S_5

[Bolopak]

Здравствуйте.
Нужно выяснить, будет ли в симметрической группе $S_5$ множество
{ (2 3 4), (1 2 3 4) } смежным классом по какой-либо подгруппе.
$G=S_5$ - симметрическая группа подстановок.
K={ (2 3 4), (1 2 3 4) }
Как я понимаю, нужно найти $H: g*H=K$ или показать, что такого $H$ не существует.
Предполагаю, что g=(123), далее умножаю:
(123)*h1=(234), h1=(134).
(123)*h2=(1234), h2=(34).
а (134)*(34)=(13).
Можно ли на основании этого сделать вывод, что $K$ не является смежным классом ни по какой подгруппе, или же мне надо рассмотреть еще 119 подгрупп $g$ из $G$? (вроде если $G=S_5$, то всего подгрупп $g$ есть 5!=120).

[Профессор Снэйп]

У Вас "смежный класс" состоит из двух элементов, соответственно он может являться смежным классом только двухэлементной подгруппы.

Каждая двухэлементная подгруппа имеет вид $\{ \sigma, \sigma^2 = e \}$, а (правый) смежный класс по ней --- вид $\{ \tau, \tau\sigma \}$. Вот и пробуйте обе свои перестановки на роль $\tau$.

[Bolopak]

Профессор Снэйп писал(а):

Каждая двухэлементная подгруппа имеет вид $\{ \sigma, \sigma^2 = e \}$, а (правый) смежный класс по ней --- вид $\{ \tau, \tau\sigma \}$. Вот и пробуйте обе свои перестановки на роль $\tau$.

Спасибо! Получилось, что
H={e,(14)} потому что (234)*(14)=(1234) и (1234)*(14)=(234)