Нахождение асимптот

[Tassium]

Понимаю, что нужно найти пределы, но от чего их брать? И как потом найти эти асимптоты? Сам пример:
Найти асимптоты:

\[ y = 2x + \frac{1} {{2x}} \]

[gris]

Асимптоты бывают разные: горизонтальные, вертикальные, наклонные.

Вертикальные появляются в точках разрыва. В них надо найти односторонние пределы и посмотреть, какие их них равны бесконечности.

Горизонтальные появляются, если предел функции на $\infty$ или $-\infty$ равен какому-нибудь числу.

Ну а наклонные... Тут надо сначала найти предел на бесконечности

$$\frac {f(x)}x$$

[Tassium]

Получается, что точка

\[ x = 0 \]

является точкой разрыва. Значения пределов справа и слева равны

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} 2x + \frac{1} {{2x}} = + \infty \]

и

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - 0} 2x + \frac{1} {{2x}} = - \infty \]

Прямая

\[ x = 0 \]

является вертикальной асимптотой, так?
Пределы функции на

\[ + \infty \]

или

\[ - \infty \]

не равны каким-либо числам. Получается, что горизонтальных асиптот нет, да?

[ewert]

Получается. Теперь ищите наклонные. По стандартной схеме: сперва наклон, потом сдвиг.

[gris]

Хотя в данном случае функция уже представляет собой сумму линейной и бесконечно малой на бесконечности. Из чего мы можем сделать вывод, что линейная часть и будет уравнением наклонной асимптоты просто по определению.

[ASA]

Да. А можно еще так рассуждать. При $x\to 0$ функция $f(x)=2x + \frac{1}{{2x}}$ за счет малости $2x$ ведет себя как $\frac{1}{{2x}}$, а у нее вертикальная асимптота $x=0$. При $x\to\infty$ функция $f(x)$ за счет малости $\frac{1}{{2x}}$ ведет себя как $2x$, а эта функция линейная, поэтому и является асимптотой (наклонной).

[Tassium]

Теперь все понятно. Всем огромное спасибо за участие! Вы очень мне помогли!