количество корней уравнения в C

[Spook]

Есть уравнение

$$e^z=z^2, \quad z\in\mathbb{C}$$

Требуется найти количество его корней. Рассматривая систему относительно $x$ и $y$, прихожу к такому уравнению

$$e^x(cos(x+\frac{e^x}{2x})+1)=2x^2-\pi{x}$$

, которое имеет бесконечно много решений, причем задать их общей формулой, видимо, не получится. Может быть я ошибся, или с какой-то другой стороны можно подойти?

[Brukvalub]

Можно еще попробовать применить т. Пикара.

[Spook]

Brukvalub, вот эта:

Википедия писал(а):

Областью значений целой функции является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

?
А как это может помочь?

[RIP]

Spook писал(а):

А как это может помочь?

Можно сделать замену $z=e^t$...
Кстати, в малой теореме Пикара ещё утверждается, что каждое значение, кроме, быть может, того самого одного, принимается бесконечное число раз. [upd]Это позволяет обойтись без всяких замен.
Кстати, сразу не обратил внимания, но приведённая формулировка неверна (забыта одна маленькая деталь).[/upd]

Добавлено спустя 52 минуты 25 секунд:

Spook в сообщении #205019 писал(а):

Есть уравнение

$$e^z$$

=$z^2$, $z\in\mathbb{C}$. Требуется найти количество его корней. Рассматривая систему относительно $x$ и $y$, прихожу к такому уравнению

$$e^x(cos(x+\frac{e^x}{2x})+1)=2x^2-\pi{x}$$

Кстати, а как Вы такое уравнение получили?

[Brukvalub]

RIP в сообщении #205035 писал(а):

Кстати, в малой теореме Пикара ещё утверждается, что каждое значение, кроме, быть может, того самого одного, принимается бесконечное число раз.

Вот-вот... А то, что 0 не является пикаровским исключительным значением - почти очевидно.

[Gordmit]

Brukvalub писал(а):

RIP в сообщении #205035 писал(а):

Кстати, в малой теореме Пикара ещё утверждается, что каждое значение, кроме, быть может, того самого одного, принимается бесконечное число раз.

Вот-вот... А то, что 0 не является пикаровским исключительным значением - почти очевидно.

Еще более очевидно, почему 1 не является пикаровским исключительным значением для $z^2e^{-z}$.

[Spook]

Наконец-то форум заработал.

RIP писал(а):

Можно сделать замену $z=e^t$...

Не вижу, что от этого изменется. Уравнеие приобретет вид $e^t=2t$, то есть понизилась степень правой части...
В смысле, это проще преобразоввывать?

RIP писал(а):

Кстати, сразу не обратил внимания, но приведённая формулировка неверна (забыта одна маленькая деталь).

Я с википедии взял формулировку, так как сам про эту теорему ничего не знаю

RIP писал(а):

Кстати, а как Вы такое уравнение получили?

Представил $z=x+i\cdot y$, затем приравнял мнимые и действительные части. Таким образом получаю систему:

$$ \left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} e^x\cos{y}=x^2-y^2,\\ \dfrac{\sin{y}}{y}=\dfrac{2x}{e^x}, y\neq 0, \end{array} \right\\ \left \{ \begin{array}{l} y=0,\\ e^x=x^2. \end{array} \right. \end{array} \right. $$

//кстати, почему у меня дроби такие маленькие?
Далее выражаю $e^x$ из второго уравнения и получаю квадратное относительно $x$ первое(кроме того, $y=\pi{k}$ не удовлетворяют условию задачи):

$$ \left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} x=\dfrac{y}{\sin{y}}(\cos{y}+1),\\ \dfrac{\sin{y}}{y}=\dfrac{2x}{e^x} \end{array} \right\\ \left \{ \begin{array}{l} x=\dfrac{y}{\sin{y}}(\cos{y}-1)\\ \dfrac{\sin{y}}{y}=\dfrac{2x}{e^x} \end{array} \right\\ \left \{ \begin{array}{l} y=0,\\ e^x=x^2. \end{array} \right\\ \end{array} \right $$

Далее я подставляю второе уравнение в первое, учитываю, что

$$\frac{cos{y}}{y+\frac{\pi}{2}}=\frac{2x}{e^x}=const$$

и получаю результат.

Brukvalub писал(а):

RIP в сообщении #205035 писал(а):

Кстати, в малой теореме Пикара ещё утверждается, что каждое значение, кроме, быть может, того самого одного, принимается бесконечное число раз.

Вот-вот... А то, что 0 не является пикаровским исключительным значением - почти очевидно.

Gordmit писал(а):

Еще более очевидно, почему 1 не является пикаровским исключительным значением для $z^2e^{-z}$.

То есть эти точки не исключительные (то есть не полюса?), а значит в них функция принимает бесконечное число значений бесконечное число раз, да? Видимо, это тяжелая теорема, т.к. в моем учебнике (Свешников, Тихонов ТФКП) такой вообще нет, как и "целых" функций. Хотя и учил я ТФКП 2 года назад, мб забыл что-то (но вот аналитические функции помню). Задача возникла как подзадача при определении кол-ва решений, в задаче численного нахождения всех решений комплексного уравнения.

[Brukvalub]

Spook в сообщении #205718 писал(а):

То есть эти точки не исключительные (то есть не полюса?), а значит в них функция принимает бесконечное число значений бесконечное число раз, да?

У целой функции нет полюсов в комплексной плоскости.

[Spook]

"Исключительная пикаровская" - это существенно особая? То есть где предел не существует? Я должен проверить, является ли точка $z=0$ $(z=1)$ существенно особой для $f(z)=e^z-z^2$ $(f(z)=z^2e^{-z})$?

[Brukvalub]

Spook в сообщении #205743 писал(а):

"исключительная пикаровская" - это существенно особая?

Опять - нет. Вы лучше почитайте, например, двухтомник Маркушевича: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D1%83%D1%88%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87&network=1 (№ 6 и № 9 в списке ), в первом томе эта т. рассмотрена на стр. 407 (не виртуальной, а бумажной!).

[RIP]

Spook писал(а):

Наконец-то форум заработал.

Поздравляю, у меня тоже.

Spook писал(а):

RIP писал(а):

Можно сделать замену $z=e^t$...

Не вижу, что от этого изменется. Уравнеие приобретет вид $e^t=2t$, то есть понизилась степень правой части...
В смысле, это проще преобразоввывать?

В смысле, уравнение принимает вид $e^{e^t-2t}=1$. Поскольку левая часть не обращается в 0, то она принимает все значения из $\mathbb C\setminus\{0\}$. Но это изврат, конечно (кроме того, нужно найти кол-во решений, а не доказать существование).

Spook писал(а):

RIP писал(а):

Кстати, сразу не обратил внимания, но приведённая формулировка неверна (забыта одна маленькая деталь).

Я с википедии взял формулировку, так как сам про эту теорему ничего не знаю

Ну, в Википедии много лажи попадается. В данном случае забыли упомянуть непостоянность функции.

Spook писал(а):

...учитываю, что

$$\frac{cos{y}}{y+\frac{\pi}{2}}=\frac{2x}{e^x}=const$$

...

За выкладками следить лень, но откуда вот это берётся?

А вообще, задачу можно решать и без теоремы Пикара. Если бы решений было конечное число, то $e^z-z^2=P(z)e^{f(z)}$, где $P(z)$ --- многочлен, а $f(z)$ --- целая функция. Если воспользоваться теоремой Адамара о целых функциях конечного порядка, то $f(z)=az+b$, поэтому моментально получаем противоречие. Наверное, можно обойтись и без тяжёлой артиллерии, но думать лень.

[Алексей К.]

Spook в сообщении #205718 писал(а):

кстати, почему у меня дроби такие маленькие?

См. здесь

[Spook]

Brukvalub писал(а):

Опять - нет. Вы лучше почитайте, например, двухтомник Маркушевича: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... ;network=1 (№ 6 и № 9 в списке ), в первом томе эта т. рассмотрена на стр. 407 (не виртуальной, а бумажной!).

Почитаю, спасибо. Чувствуется, не один параграф придется читать.

RIP писал(а):

За выкладками следить лень, но откуда вот это берётся?

Левая часть не зависит от $x$, правая - от $y$, следовательно обе части равны константе. Далее заменяю $y$ на $y+\frac{\pi}{2}$ и синус становится косинусом.

RIP писал(а):

Если бы решений было конечное число, то $e^z-z^2=P(z)e^{f(z)}$, где $P(z)$ --- многочлен, а $f(z)$ --- целая функция. Если воспользоваться теоремой Адамара о целых функциях конечного порядка, то $f(z)=az+b$, поэтому моментально получаем противоречие.

Я не понял, в чем противоречие Разве это не целая функция?

Алексей К. писал(а):

См. здесь

Спасибо, теперь все как надо. Нужно было использовать "\dfrac" вместо "\frac".


Пока лазил в Википедии, наткнулся на такое доказательство основной теоремы алгебры:

Википедия писал(а):

Доказательство

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

Непонятен вывод после слова "посему". Почему это так?

[Brukvalub]

Потому, что бесконечность для непостоянного многочлена является устранимой особенностью.

[RIP]

Spook писал(а):

RIP писал(а):

За выкладками следить лень, но откуда вот это берётся?

Левая часть не зависит от $x$, правая - от $y$, следовательно обе части равны константе. Далее заменяю $y$ на $y+\frac{\pi}{2}$ и синус становится косинусом.

:o:lol:
Странная логика. Обе части как функции от $x$ и $y$ определённо не являются константами.

Spook писал(а):

RIP писал(а):

Если бы решений было конечное число, то $e^z-z^2=P(z)e^{f(z)}$, где $P(z)$ --- многочлен, а $f(z)$ --- целая функция. Если воспользоваться теоремой Адамара о целых функциях конечного порядка, то $f(z)=az+b$, поэтому моментально получаем противоречие.

Я не понял, в чем противоречие Разве это не целая функция?

Ну, типа, экспоненты $e^{az}$ с разными параметрами $a\in\mathbb C$ линейно независимы над $\mathbb C(z)$.

Добавлено спустя 11 минут 45 секунд:

Spook писал(а):

Пока лазил в Википедии, наткнулся на такое доказательство основной теоремы алгебры:

Википедия писал(а):

Доказательство

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

Непонятен вывод после слова "посему". Почему это так?

Потому что иначе мы бы имели непостоянную ограниченную целую функцию, чего не бывает. Вообще, плохо написано. Обычно в слова "обратная функция" вкладывается другой смысл, а здесь подразумевается $P(z)^{-1}$.

Brukvalub в сообщении #206520 писал(а):

Потому, что бесконечность для непостоянного многочлена является устранимой особенностью.

Что-то Вы не то написали.