Позитив

[RIP]

Пусть $a_{i,j}>0$ ($1\le i,j\le n$). Докажите, что система уравнений
$\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j=\frac1{x_i}$ ($1\le i\le n$)
имеет решение в положительных $x_i$.

[TOTAL]

RIP писал(а):

Пусть $a_{i,j}>0$ ($1\le i,j\le n$). Докажите, что система уравнений
$\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j=\frac1{x_i}$ ($1\le i\le n$)
имеет решение в положительных $x_i$.

Масштабируем так, что

$$a_{i,i}=1,$$

и обозначим

$$s_i=\sum_{j \ne i}a_{i,j}x_j$$

Тогда уравнения переписываются в виде

$$x_i=\frac{-s_i+\sqrt{s_i^2+4}}{2}$$

и можно применить теорему о неподвижной точке
(если, конечно, многомерный куб обладает свойством неподвижной точки)

[RIP]

TOTAL в сообщении #205806 писал(а):

если, конечно, многомерный куб обладает свойством неподвижной точки

Обладает.

Аналогично получаем:
Пусть $f_i\colon([0;+\infty)^n\setminus\{\mathbf0\})\to(0;+\infty)$ --- непрерывные функции ($1\le i\le n$). Доказать, что при некотором $c>0$ система
$f_i(x_1,\ldots,x_n)=\frac c{x_i}$ ($1\le i\le n$)
имеет решение в позитивных $x_i$.