Пример двух эквивалентных функций...

[alexandros]

Нужно привести пример двух эквивалентных функций, таких, что:
Несобственный интеграл от первой сходится, а от второй (по тому-же промежутку) расходится...
Грубо говоря, показать, что условие о их знакопостоянстве (в соответствующей теореме, в которой говорится, что эти интегралы сходятся или расходятся одновременно, при условии, что они знакопостоянны и эквивалентны) существенно...

[ewert]

Знакопостоянство существенно не для сходимости, а для эквивалентности. Если функции не знакопостоянны, то что может означать их эквивалентность? Как минимум такое понятие совершенно бесполезно, потому его и не вводят.

[alexandros]

А как насчет примера просто двух эквивалентных функций, таких, чтобы: интеграл от одной сходился, а от другой расходился?..

[ewert]

Знакопостоянных, что ли? Вы же сами упомянули теорему, согласно которой сходимости в этом случае эквивалентны.

[alexandros]

Значит, вы утверждаете, что если к примеру:
&f(x) \sim g(x),x \to \infty&то интегралы
&\int\limits_a^\infty {f(x)dx}&
и
&\int\limits_a^\infty {g(x)dx}&
сходятся или расходятся одновременно??..

[ewert]

Если знакопостоянны -- да. Если не знакопостоянны -- естественно, нет. Только тогда непонятно, что такое "эквивалентность". Вы бы хоть как-нибудь определили.

[alexandros]

Я спросил - мой предыдущиц пост верен?..Вы говорите, да, если знакопостоянны..а до этого говорили, что эквивалентность и не определена при не знакопостоянных ф-циях..Почему бы тогда просто не сказать, что мой предыдущий пост верен? .....
Есть т-ма: Если & f(x),g(x) \geqslant 0 &

&f(x) \sim g(x),x \to \infty&то интегралы
&\int\limits_a^\infty {f(x)dx}&
и
&\int\limits_a^\infty {g(x)dx}& сходятся или расходятся одновременно.

Вы хотите сказать, что в этой теореме первое условие лишнее?..(раз уж эквивалентность не определена для незнакопостоянных ф-ций)..

[ewert]

Нет, не лишнее -- если "эквивалентность не определена", то оговорка про положительность нужна просто для осмысленности самой формулировки теоремы. Т.е. формально она, может, и не обязательна, но -- правила приличия требую.

А говоря по существу. Что Вы зациклились именно на интегралах? Подумайте лучше об аналогичных утверждениях для рядов (там-то эквивалентность вполне разумна и для не знакопостоянных последовательностей).

[alexandros]

На самом деле, на лекции преподаватель попросил привести такой пример....на след. лекции попросил тот-же пример, но для рядов..вот я и начал думать с интегралов..А для рядов что Вы можете посоветовать?..И что, получается, для интегралов таких примеров нет?..

[ewert]

Для рядов -- очевидно. Возьмите ряд, достаточно медленно (условно) сходящийся по признаку Лейбница. И добавьте к его членам их же модули, умноженные на достаточно медленно стремящуюся к нулю положительную последовательность. Эквивалентность будет, а вот сходимость исчезнет.

Для интегралов -- ровно та же идея. Скажем, интеграл от

$${\sin x\over\sqrt x}$$

на бесконечности сходится. Но если добавить слагаемое

$${|\sin x|\over x}$$

, то интеграл станет расходящимся. И при желании вторую подынтегральную функцию вполне можно трактовать как эквивалентную первой.

[alexandros]

Спасибо большое!!..И вот тогда еще один момент...Взял ряд
\ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{( - 1)^n }} {n}} - по признаку Лейбница сходится...прибавил к нему
\ 1/n^2 - получились эквивалентные.....И почему
\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{{( - 1)^n }} {n} + 1/n^2 ))} расходится?..

[ewert]

Нипочему. Он сходится. Зачем Вам понадобилось прибавлять именно единицу на эн квадрат? Прибавили бы хотя бы единицу на эн логарифмов эн -- тогда бы разошёлся.

[alexandros]

А он почему расходится..?..

[ewert]

Потому, что сумма вторых слагаемых разойдётся. По интегральному признаку.

[alexandros]

Спасибо большое, ewert! Ввек не забуду!