Волны в волновом уравнении :)

[Кудеяр]

Уважаемые физики! Помогите, пожалуйста, понять такой вопрос.

Пусть есть одномерное волновое уравнение
$u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t)$
Если мы переходим к характеристическим прямым
$\xi=x+at, \quad \eta=x-at$,
то получим
$U_{\xi \eta}=f(\xi, \eta)$
Интегрируем по $\eta$

$$U_{\xi}= \int_{0}^{\eta}f(\xi,q)dq + F(\xi)$$

Интегрируем по $\xi$

$$U(\xi,\eta)= \int_{0}^{\xi}\int_{0}^{\eta}f(m,q)dq dm + f_1(\xi) +f_2(\eta)$$

или

$$u(x,t)= \int_{0}^{x+at}\int_{0}^{x-at}f(m,q)dq dm + f_1(x+at) +f_2(x-at)$$

Члены типа $u_1=f_1(x+at) +f_2(x-at)$ это свободные колебания (однородное уравнение). А меня интересуют вынужденные, т.е.

$$u_2= \int_{0}^{\xi}\int_{0}^{\eta}f(m,q)dq dm$$

Вот что это такое за выражение? Это всё волны? К примеру я хочу узнать, какие волны возникают в системе под действием силы $f(x,t)$. Если я ищу в виде $A \exp(i (\omega t - k x)$, то я найду только часть решения, которое входит в $u_2$.
А как надо правильно делать? Брать целиком функцию $u_2$? Или же не всё, что в нее входит является волнами, возникающими в системе?

Спасибо.

[Кудеяр]

Кстати, вот еще вопрос по волнам. В каких случаях мы ищем решение в виде $A(x) \exp(i \omega t)$, а в каких в виде $A \exp(i \omega t + kx)$?