Найти наилучшую линейную оценку величины по трем имеющимся

[vilson]

Доброго времени суток. Помогите, пожалуйста, решить задачку по эконометрике. Скоро сдавать.

Фабула задачи.
Три студентки 2 курса экономического факультета вычисляют одну и ту же величину А. Из-за неточности вычислений они получают три различных ответа:
а1=6,2, а2=6,9, а3=5,7. Будем условно считать, что а1, а2, а3 - независимые случайные величины с математическим ожиданием М(а1)=М(а2)=М(а3)=А. Первая студентка утверждает, что допускает при вычислениях дисперсию D(a1)=1.5, вторая - D(a2)=2, третья - D(a3)=1. Сделайте на основе этих данных наилучшую линейную оценку величины А.

Заранее спасибо!

[Xaositect]

vilson в сообщении #204859 писал(а):

Три студентки 2 курса экономического факультета вычисляют одну и ту же величину А. Из-за неточности вычислений они получают три различных ответа:

По решению: видимо, надо найти среди всех выражений вида $c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3$, где $c_1+c_2+c_3$(чтобы матожидание было то же), то, которое имеет наименьшую дисперсию(тут я могу ошибаться, статистика была давно, может надо что-то другое минимизировать).

[vilson]

Не понимаю, Вы предлагаете решать системой? Т.е. приравнивать к трем дисперсиям? Если да, то что за система? Наименьшая дисперсия равна "1", т.е. к ней приравнивать что-ли?
А то, что эффективность - это минимальная дисперсия - это точно.

[PAV]

Посчитайте дисперсию линейной комбинации (это будет функция от $c_1,c_2,c_3$) и найдите такие значения, при которых она будет наименьшей.

[Архипов]

vilson в сообщении #204859 писал(а):

а1=6,2, а2=6,9, а3=5,7. Будем условно считать, что а1, а2, а3 - независимые случайные величины с математическим ожиданием М(а1)=М(а2)=М(а3)=А. Первая студентка утверждает, что допускает при вычислениях дисперсию D(a1)=1.5, вторая - D(a2)=2, третья - D(a3)=1. Сделайте на основе этих данных наилучшую линейную оценку величины А.

Предлагается такой ответ:
А=(6,2+6,9+5,7)/3=6,26 - среднеарифметическая
Погрешность равна $((1,5+2+1)/(3*(3-1)))^0^,^5=0,9$ - среднеквадратическая
Окончательно: А = 6,3 +- 0,9 - линейная оценка с вероятностью 0,68.

[PAV]

Ерунда написана, как впрочем и чаще всего. Почему усреднять с равными весами, почему это будет наилучшая оценка, что такое "линейная оценка с вероятностью". Ничего не объяснено.

Архипов, Вы систематически пишете безграмотные решения к задачам, в которых абсолютно не разбираетесь. Прежде всего, это может привести к печальным последствиям для тех, кому Вы якобы "помогаете" (потому что ни один нормальный преподаватель такого "решения" не примет). А люди потом будут иметь претензии к форуму, где им советуют такую чушь. Хотя, разумеется, свою голову на плечах также надо иметь и не переписывать бездумно то, что насоветовали, но уровень форума Ваше поведение понижает. Предупреждаю, что если Вы будете продолжать в том же духе, то я буду рассматривать вопрос о бане за распространение безграмотности.

[GAA]

Я бы искал оценку $A$ минимизируя

$$\sum\limits_{i=1}^3 \frac{(a_i-\hat A)^2}{D_i}$$

.
Обоснование и дальнейшие шаги зависят от изложенного в учебном курсе материала.

Добавлено спустя 1 час 28 минут 55 секунд:

Прошу прощение, Xaositect и PAV. Не вчитался в Ваши сообщения. Если считать, что $c_1 + c_2 +c_3 =1$ (для несмещенности оценки), то получим, туже оценку, что и методом наименьших квадратов.

[vilson]

Спасибо всем. Задачу дорешал. Все получилось.

[Архипов]

PAV в сообщении #204983 писал(а):

Архипов, Вы систематически пишете безграмотные решения к задачам, в которых абсолютно не разбираетесь.

Приведите свое решение - будет с чем сравнивать. Пока , кроме абстрактных советов, никто внятного решения не опубликовал.

PAV в сообщении #204880 писал(а):

Посчитайте дисперсию линейной комбинации (это будет функция от с1, с2, с3 ) и найдите такие значения, при которых она будет наименьшей.

[Мат]

vilson писал(а):

Доброго времени суток. Помогите, пожалуйста, решить задачку по эконометрике. Скоро сдавать.

Фабула задачи.
Три студентки 2 курса экономического факультета вычисляют одну и ту же величину А. Из-за неточности вычислений они получают три различных ответа:
а1=6,2, а2=6,9, а3=5,7. Будем условно считать, что а1, а2, а3 - независимые случайные величины с математическим ожиданием М(а1)=М(а2)=М(а3)=А. Первая студентка утверждает, что допускает при вычислениях дисперсию D(a1)=1.5, вторая - D(a2)=2, третья - D(a3)=1. Сделайте на основе этих данных наилучшую линейную оценку величины А.

Заранее спасибо!

А как насчет того, что если первая студентка утверждает, что ее дисперсия равна $D_1$, то дисперсии второй и третьей изменяются $f_1(D_1)$ и $f_2(D_1)$. Аналогично и дисперсии двух других зависят от заявления каждой о своей дисперсии, т.е. являются взаимно условно случайными величинами. Как будете решать тогда?

[PAV]

Архипов в сообщении #205084 писал(а):

Приведите свое решение - будет с чем сравнивать. Пока , кроме абстрактных советов, никто внятного решения не опубликовал.

Это стандартная учебная задача, поэтому решать ее должен автор. Судя по всему, он это сделал. Вообще-то мой совет не абстрактный, а совершенно конкретный, после которого ход решения довольно очевиден. И с тем, что написали Вы, правильное решение не имеет совершенно ничего общего. В задаче определенно сказано - найти лучшую линейную комбинацию. Вы же предложили одну комбинацию с одинаковыми коэффициентами, при этом нет даже намека на обоснование того, что она лучше других возможных вариантов. Вы полагаете, что это может быть правильным решением задачи? Вообще-то здравый смысл + хотя бы какое-то понимание предмета подсказывает, что оценка с меньшей дисперсией имеет большую точность, поэтому ее вес должен быть выше.

vilson, может напишете для Архипова только ответ задачи? Какие должны быть коэффициенты у наилучшей оценки?