ТФКП (свойства логарифмов)

[Ilnur]

Надо доказать свойства
1. $Ln(z_1 z_2)=Ln z_1+Ln z_2$;
2. $Ln\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Ln z_1-Ln z_2$;
3. $Ln\sqrt[n]{z}=\frac{1}{n}Ln z$.

Доказательство первых двух свойств можно найти в литературе. Например, нашел такое доказательство:
$Ln z_1=\ln|z_1|+i(\arg z_1+2\pi n)$, $n\in \mathbb{Z}$, $Ln z_2=\ln|z_2|+i(\arg z_2+2\pi m)$, $m\in \mathbb{Z}$,
$Ln z_1+Ln z_2=\ln|z_1|+i(\arg z_1+2\pi n)+\ln|z_2|+i(\arg z_2+2\pi n)=\ln|z_1|+\ln|z_2|+i(\arg z_1+\arg z_2+2\pi n+2\pi m)=\ln|z_1z_2|+i(\arg (z_1 z_2)+2\pi (n+m))$.
с другой стороны,
$Ln(z_1 z_2)=\ln|z_1z_2|+i(\arg (z_1 z_2)+2\pi k)$, $k\in \mathbb{Z}$,
т.к. $\{n+m\}=\{k\}$, получаем $Ln(z_1 z_2)=Ln z_1+Ln z_2$.

Второе свойство доказывается аналогично...

Можно ли доказать по данной схеме третье свойство?

У меня получается следующие
$\frac{1}{n}Ln z=\frac{1}{n}(\ln|z|+i(\arg z+2\pi k))=\frac{\ln|z|}{n}+i\frac{\arg z+2\pi k}{n}$, $k\in \mathbb{Z}$
С другой стороны
$Ln \sqrt[n]{z}=\ln|\sqrt[n]{z}|+i(\arg \sqrt[n]{z}+2\pi m)=\frac{1}{n}\ln|z|+i(\arg \sqrt[n]{z}+2\pi m)$, $m\in \mathbb{Z}$

дальше как быть?

[ewert]

В формуле Маувра $\arg(\sqrt[n]{z})={\arg(z)+2\pi k\over n}$, $k=0,1,\ldots n-1.$

[Ilnur]

А что делать с $2\pi m$

[ewert]

Например, привести к общему знаменателю и вынести два пи за скобку.

[Ilnur]

т.е.
$...=\frac{1}{n}\ln|z|+i(\frac{arg z+2\pi j}{n}+2\pi m)=\frac{1}{n}\ln|z|+i\frac{arg z+2\pi j+2\pi mn}{n}=\frac{1}{n}\ln|z|+i\frac{arg z+2\pi (j+ mn)}{n}, m\in \mathbb{Z}, j=0,1,2,...,n-1$

Добавлено спустя 6 минут 56 секунд:

а можно утверждать $\{k\}=\{j+mn\}$?

Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд:

Существует ли другие доказательства третьего свойства?

[ewert]

Ilnur в сообщении #204737 писал(а):

а можно утверждать $\{k\}=\{j+mn\}$?

Можно.

Ilnur в сообщении #204737 писал(а):

Существует ли другие доказательства третьего свойства?

Существует универсальное доказательство всех трёх свойств. Поскольку $w=\mathop{\mathrm{Ln}}z$ по определению есть общее решение уравнения $e^w=z$ -- свойства логарифма вытекают из соответствующих свойств экспоненты.

[Ilnur]

т.е.
$e^{w}=z, e^{\frac{w}{n}}=z^{\frac{1}{n}}, \frac{w}{n}=Lnz^\frac{1}{n}, \frac{1}{n}Ln z=Ln\sqrt[n]{z}$

тогда получаю
$e^{w}=z, e^{w n}=z^{n}, wn=Lnz^n, n Ln z=Lnz^n$
хотя
$Lnz^n=nLn z+2\pi ki$

[Ilnur]

К сожалению так и не смог разобраться до конца...

Есть два свойства
1) $Ln z^n=nLn z+2\pi ki$, $k\in \mathbb{Z}$,
2) $Ln\sqrt[n]{z}=\frac{1}{n}Ln z$.

Не могли ли объяснить (или указать литературу), почему в одном случае добавляется $2\pi ki$, а в другом нет?

[Brukvalub]

Ilnur в сообщении #206470 писал(а):

почему в одном случае добавляется $2\pi ki$, а в другом нет?

Потому, что комплексный логарифм - бесконечнозначная функция, и добавление к ней слагаемых $2\pi ki$, $k\in \mathbb{Z}$ ничего не меняет.

[Ilnur]

Brukvalub писал(а):

Ilnur в сообщении #206470 писал(а):

почему в одном случае добавляется $2\pi ki$, а в другом нет?

Потому, что комплексный логарифм - бесконечнозначная функция, и добавление к ней слагаемых $2\pi ki$, $k\in \mathbb{Z}$ ничего не меняет.

Я это знаю. Не могу понять только одно, почему в одном свойстве $2\pi ki$ пишут, а в другом нет?

Будет ли ошибкой, если
1) добавить $2\pi ki$ во вторую формулу?
2) убрать $2\pi ki$ из первой формулы?

[Brukvalub]

Ilnur в сообщении #206535 писал(а):

Будет ли ошибкой, если
1) добавить $2\pi ki$ во вторую формулу?
2) убрать $2\pi ki$ из первой формулы?

Оба эти действия не ведут к ошибке.

[Xaositect]

Стоп.
Если убрать из первой формулы $2\pi k i$, то слева получаются значения $\mathrm{Ln} z^n = \ln z^n + 2\pi k i$, а справа $n \mathrm{Ln} z = n \ln z + 2n\pi k i$, а это разные вещи.
То есть равенства многозначных функций $\mathrm{Ln} z^n$ и $n \mathrm{Ln} z$ нет, для равенства и нужно это слагаемое.
А в случае корня у нас все хорошо, потому что корень - тоже многозначная функция, и ее значения отличаются как раз нужным множителем.
Или я что-то неправильно понимаю?

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #206548 писал(а):

Если убрать из первой формулы $2\pi k i$, то слева получаются значения $\mathrm{Ln} z^n = \ln z^n + 2\pi k i$, а справа $n \mathrm{Ln} z = n \ln z + 2n\pi k i$, а это разные вещи.
То есть равенства многозначных функций $\mathrm{Ln} z^n$ и $n \mathrm{Ln} z$ нет, для равенства и нужно это слагаемое.

Нет, это я неверно прочел - не заметил, что во втором случае предлагается убрать слагаемое $2\pi ki$ из первой формулы...Из первой формулы его, конечно, убирать не следует.

[Ilnur]

учитывая, что $Ln z=\ln|z|+iArgz$ получаю

$Ln z^n=\ln|z^n|+Argz^n=\ln|z|^n+i(nArgz+2\pi k)=n\ln|z|+inArgz+2\pi ki=n(\ln|z|+iArgz)+2\pi ki=nLnz+2\pi ki;$

$Ln\sqrt[n]{n}=\ln\sqrt[n]{z}+iArg\sqrt[n]{z}=\ln|z|^{\frac{1}{n}}+i\frac{1}{n}Argz=\frac{1}{n}(\ln|z|+Argz)=\frac{1}{n}Lnz.$

1) имеются ли ошибки в доказательствах?
2) можно ли доказать аналогично учитывая, что $Ln z=\ln|z|+i(argz+2\pi k)$?

[Профессор Снэйп]

Ilnur писал(а):

учитывая, что $Ln z=\ln|z|+iArgz$ получаю

$Ln z^n=\ln|z^n|+Argz^n=\ln|z|^n+i(nArgz+2\pi k)=n\ln|z|+inArgz+2\pi ki=n(\ln|z|+iArgz)+2\pi ki=nLnz+2\pi ki;$

А где Вы учитываете здесь тот факт, что число $n$ целое?