2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Параметризация поверхности
Сообщение12.04.2009, 10:03 
Аватара пользователя
Помомгите пожалуйста параметризовать часть поверхности цилиндра
\[
x^2  + y^2  = 1
\] заключенной между плоскостями \[
x + y + z = 0
\] и \[
z = y + 5
\]

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 11:51 
Вы имеете в виду - записать уравнение от 2-х параметров,
дающее изображение части цилиндра, заключенного
между плоскостями?
см. картинку
Изображение

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 11:52 
Аватара пользователя
А нужно ли ее параметризовывать? (ведь идея параметризации, наверняка, пришла в ходе решения какой-то задачи, которая, возможно, решается и без параметризации).

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 12:06 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #204223 писал(а):
ведь идея параметризации, наверняка, пришла в ходе решения какой-то задачи

Вы правы.Нужно найти площадь части поверхности цилиндра
\[
x^2  + y^2  = 1
\] заключенной между плоскостями \[
x + y + z = 0
\] и \[
z = y + 5
\] при помощи поверхностных интегралов первого рода

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 12:22 
Тогда задача достаточно противная. Хотя считается легко -- правда, с некоторой примесью жульничества. Надо перейти в цилиндрические координаты, представить линии пересечения как $\rho=1,$ $z=z_1(\varphi)$ и $z=z_2(\varphi)$, после чего элемент площади может быть записан как $(z_2(\varphi)-z_1(\varphi))\cdot1\cdot d\varphi.$

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 12:28 
Аватара пользователя
А ещё можно чисто геометрически решить, найдя четыре условных экстремума по правилу Лагранжа. Просто картинкой vvvv навеяло.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 12:29 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #204233 писал(а):
Хотя считается легко -- правда, с некоторой примесью жульничества

А как бы без "жульничечтва"?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 12:33 
Так жульничество тут только в том, что элемент площади поверхности сходу записан как $\rho\,d\varphi\,dz$ и сразу же в уме проинтегрирован по $z$. Как формально обосновывать -- даже думать лень.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 13:12 
Здесь, вообще, можно без интегрального исчисление, для чего нужно вычислить
боковую поверхность 3-х цилиндров соответствующей высоты, взяв половины
верхнего и нижнего и всю - среднего :)

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 13:20 
matan в сообщении #204226 писал(а):
Нужно найти площадь части поверхности цилиндра <...> при помощи поверхностных интегралов первого рода

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 15:26 
Это я так, между прочим :)

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 19:51 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #204233 писал(а):
с некоторой примесью жульничества. Надо перейти в цилиндрические координаты


Так переход к цилиндрическим координатам и даёт требуемую параметризацию.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 19:58 
vvvv в сообщении #204290 писал(а):
Это я так, между прочим

Между прочим -- это совершенно верно. Не считая того, что в том варианте текста это совершенно непонятно -- и, с другой стороны, правилам игры не отвечает.

Someone в сообщении #204392 писал(а):
Так переход к цилиндрическим координатам и даёт требуемую параметризацию.

Ну, наверное.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 20:59 
А ответ получается коротким - 10pi

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group