Помогите с решением следующего.
Необходимо научиться вычислять вероятность события по выражению,
построенному на основе ряда индикаторных функций.
Один из примеров:
Исходные данные:
- поведение системы рассматривается на интервале
-

- время, случайная наработка до
некоторого события (

- случайная наработка на отказ объекта,

- случайная наработка на скрытый отказ системы защиты по
мощности и температуре

- аналогично для ложного отказа системы защиты по
мощности)
-

- известное время (время, через которое начнется повышение
температуры)
- функции распределения:
для

:
для

:
для

,

соответственно
Неясно каким образом из выражения:
где

- функция-индикатор, причем

, если

,
и

, если

,
а
Было получено выражение:
где

- ступенчатая единичная функция,

, если

, если
[А.И. Перегуда, Р.Е. Твердохлебов Обобщение математической модели АТК "Объект
защиты - система безопасности" //Известия вузов. Ядерная энергетика, № 2 , 2006]
Привожу необходимую информацию по рассматриваемой задаче:
С каждым событием

можно связать случайную величину
Называемую
индикатором события

- математическое ожидание.
Математическое ожидание индикатора события равно вероятности этого события:
[Севастьянов Б.А. Курс теории вероятности и математической статистики. – М.:
Наука, 1982. – 256 с.]
Если случайная величина

имеет функцию распределения

,математическое ожидание определяется как
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной

равно этой же постоянной:

.
2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания:

.
3. Математическое ожидание суммы любых случайных величин (как угодно связанных)
равно сумме их математических ожиданий:

.
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно
произведению их математических ожиданий:
[Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории
надежности. М.: "Наука", 1965. – 524 с]
Более простой пример с использованием аналогичных методов:
Допустим

и

- независимые непрерывные случайные переменные, имеющие плотности распределения

и

, соответственно.
Необходимо вычислить

.
В зависимости от значения принимаемого
где
[M.Ross Introduction to Probability Models Ninth Edition. Sheldon
University of California Berkeley, California, 2007.]
Тем не менее мне все равно не удалось понять как решаются такие задачи.
Возьмем простой пример.
- поведение системы рассматривается на интервале
-

- время, случайная наработка до некоторого события
- функции распределения:
для

:
для

:

,

соответственно
Как от выражения вида
Перейти к выражению, построенному на функциях распределения?