Положение точки z на комплексной плоскости

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 в сообщении #204052 писал(а):

из начала координат проведем окружность радиуса $R=a\rho$

Я так понял, что Вы не только тетрадки в косую клеточку сыскали, но и циркуль с комплексным раствором?
(или у нас множитель a такой, что удалает мнимости?)

Круто сыскать циркуль с комплексным раствором ( интересно как выглядит? )
.
Было предложено строить косые клеточки ("ромбик") на векторах $1$ и $\rho$, а также Вашим способом,
ну я и переборщил с обозначениями, радиуса $R$ ( умножение вектора на число $a$ ясно дает вектор). Можно наверное и множитель $a$ подобрать, чтобы удалить мнимость - но это все лишнее ( см. п.0)...).

Добавлено спустя 20 минут 5 секунд:

Алексей К. писал(а):

в левой части формулы, написанной RIPом, сказано: суммирование ведётся по всем парам $m,n$, таким, что $m^2-mn+n^2\le R^2$, т.е. по тем числам $m+n\rho$, которые удалены от начала координат недалеко и попадают в окружность.

Словами понянтно, это то, что ищем ( такая задача), а почему $m^2-mn+n^2\le R^2$?
потому что
$(m+n\rho)^2 \le R^2$?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Словами понянтно, это то, что ищем ( такая задача), а почему $m^2-mn+n^2\le R^2$?
потому что $(m+n\rho)^2 \le R^2$?

Потому что $\left|{m+n\rho}\right|^2 \le R^2$. Вы же уже с этим возились!

[e7e5]

RIP писал(а):

1) Вас интересует точная формула? Тогда

$$\sum_{m^2-mn+n^2\le R^2}1=\sum_{n=-\lfloor2R/\sqrt3\rfloor}^{\lfloor2R/\sqrt3\rfloor}\left(\left\lfloor\frac{\sqrt{4R^2-3n^2}+n}2\right\rfloor+\left\lfloor\frac{\sqrt{4R^2-3n^2}-n}2\right\rfloor+1\right),$$

где $\lfloor x\rfloor$ --- целая часть $x$.

Подскажите, как правая часть получилась?
$+1$ - понимаю точка в начале координат

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #204619 писал(а):

Подскажите, как правая часть получилась?

Видите ли, e7e5 --- Ваша самопридуманная задачка очень неинтересна, полагаю, --- весьма тривиальна и чуть-чуть громоздка. Так что интересен, скорее, совсем другой вопрос --- что способствовало выведению RIPом этой формулы? Он долго ехал в поезде и бесконечно скучал? Судьба занесла его на пляж, и свои задачки немного осточертели, а мимо, несомый весенним ветерком, пролетал листочек бумаги (ручка в кармане завалялась)?

На мой взгляд, минимальная польза из этого будет в том случае, если Вы порешаете её сами. Я здесь исхожу из где-то высказанного Вами заявления о том, что Вы изучаете математику самостоятельно.

Циркуль, естественно, берите обычный. Нарисуйте эти самые линии --- горизонтальные и почти_вертикальные. Вдоль этих линий расстояния между точками действительно выражаются целыми числами. Для начала сосчитайте, сколько, наример, горизонтальных или "почти_вертикальных" линий попадают (хоть на секундочку) внутрь окружности. Углядите, как и почему при этом возникает функция $\lfloor x \rfloor$ --- целая часть числа. Затем посчитайте количество точек, попадающих на наклонную прямую, проходящую через точку $(n,0)$, как функцию $n$ и $R$. Наверное, количество точек сверху и количество точек снизу будет выражаться разными слагаемыми.
Просуммируйте по всем $n$, попадающим в окружность.

e7e5 в сообщении #204619 писал(а):

$+1$ - понимаю точка в начале координат

Нет. Эта единичка --- под знаком суммы, и потому уже не единичка. Скорее всего, это что-то вроде количества точек ни сверху, ни снизу, т.е. на оси.

Интересно, что было бы дольше, --- самому порешать, или писать эту блинметодическую рекомендацию?

[RIP]

e7e5 в сообщении #204619 писал(а):

Подскажите, как правая часть получилась?
$+1$ - понимаю точка в начале координат

"+1" --- это потому, что количество целых чисел на отрезке $[a;b]$ при целых $a\le b$ равно $b-a+1$.
А по поводу "как получилось". Можно, конечно, и геометрически себе это представлять, картинки рисовать, --- это кому как нравится. Лично я вообще не люблю геометрию, поэтому стараюсь по возможности её избегать. Вам надо посчитать количество целых решений неравенства $m^2-mn+n^2\le R^2$. Находите количество возможных $m$ при фиксированном $n$, а потом суммируете по всем $n$. Вот в формуле (если я не ошибся) это и написано.