Постоянное электрическое поле в вакууме.

[Selucreh]

Помогите решить такую задачу:
Плоскость с круглым отверстием радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плоскостью $\sigma$. Найти напряженность Е электрического поля на оси отверстия как функцию расстояния l до его центра.
Эта задача из сборника Иродов, 2001г.
E=$\frac F Q_0
E=$\right \frac \sigma \left 2\varepsilon _0$
больше не знаю какие формулы подставить.

[ewert]

Задача не вполне тривиальна, придётся честно считать напряжённость поля выкинутого из этой плоскости однородно заряженного диска с помощью соответствующего интеграла.

[Selucreh]

В ответе написано: E= $\frac{\sigma l} {2*\varepsilon_0}}\sqrt{R^2+l^2}

[ewert]

Вполне возможно, но интегрировать всё-таки придётся честно (естественно, в полярных координатах). Никаких возможностей для жульничества я тут не вижу.

---------------------------------------------------
Да, кстати, ответ совершенно неправдоподобен, если имелась в виду напряжённость именно в дырке -- поскольку в центре она не равна (якобы) нулю. Если же имелась в виду напряжённость самого выкинутого диска -- ну, может, и так.

[alex_rodin]

Selucreh писал(а):

В ответе написано: E= $\frac{\sigma l} {2*\varepsilon_0}}\sqrt{R^2+l^2}

Не совпадает размерность - получается напряженность, умноженная на квадрат расстояния.

[Selucreh]

Можно применить теорему Гауса:


Но в данной задачи отверстие радиусом $R$ т.е. правильной формы, что точно нужно иметь ввиду, а вот площадь к этой формуле не найти. Все равно не сходится! Как выразить напряженность через функцию интегралом?

[alex_rodin]

Разбиваем вырезанный круг на кольца бесконечно малой толщины, кольцо радиусом $r$ и толщиной $dr$ несет заряд $dq = \sigma ds = 2 \pi \sigma r dr$. На расстоянии $l$ напряженность, создаваемая этим кольцом равна

$$dE_\textit{выр} = \frac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \frac {dq} {r^2 + l^2} \cdot \frac {l} {\sqrt {r^2 + l^2}} = \frac {\sigma rl dr} {2 \varepsilon_0 \left (r^2 + l^2 \right )^{\frac 3 2}}$$

,
Отсюда

$$E = E_0 - E_\textit{выр} = \frac {\sigma} {2 \varepsilon_0} - \int \limits _R ^0 \frac {\sigma rl dr} {2 \varepsilon_0 \left (r^2 + l^2 \right )^{\frac 3 2}}$$

.
Т. к.

$$\int \frac {x dx} {\left (x^2 + a^2 \right ) ^ {\frac 3 2}} = - \frac {1} {\sqrt {x^2 + a^2}} +C$$

,

$$E = \frac {\sigma} {2 \varepsilon_0} \left (1 - \frac {l} {\sqrt {R^2 + l^2}} \right )$$

.