Вопрос по поводу открытости и замкнутости.

[мат-ламер]

Phoen1x. Может Вы взяли слишком продвинутый учебник по анализу? Может имеет смысл сначала почитать старые учебники (Зорич, Шилов и др.), в которых изложение ведётся на уровне метрических пространств, а затем уже переходить к топологическим? Что-то в сети учебник Львовского не нашёл. Может кто-то даст ссылку?

[Виктор Викторов]

мат-ламер в сообщении #202421 писал(а):

Может имеет смысл сначала почитать старые учебники (Зорич, Шилов и др.), в которых изложение ведётся на уровне метрических пространств

А при чём здесь метрическое пространство? Лучше рассмотреть числовую прямую. Phoen1x написал: «не понимаю смысла открытости и замкнутости множеств». Вопрос о структуре открытых и замкнутых множеств. Открытое непустое множество состоит только из внутренних точек. Это его характеристическое свойство. А замкнутое множество (дополнение до открытого) в общем случае состоит из внутренних и граничных точек. Но уж если случился грех и оно состоит только из внутренних точек, то оно и открыто одновременно. Любой открытый интервал на числовой прямой прекрасный пример «откуда ноги растут у открытых множеств» в общей топологии. А нетривиальный пример на открыто-замкнутое множество смотрите в моем предыдущем комментарии.

[Виктор Викторов]

Разговор об открытых и замкнутых множествах заинтересовал многих. Поэтому выкладываю небольшой «отчёт» о тех свойствах вещественных чисел, из которых и выросли соответствующие топологические определения.

Открытые интервалы
Определение и примеры открытых интервалов
Определение. Пусть $d$ и $g$ – два вещественных числа, и пусть, для определенности, $d\leq g$. Назовем множество чисел, подчиняющихся неравенству $d<x<g$, собственным открытым интервалом в множестве вещественных чисел.

Обозначим собственный открытый интервал стандартным образом: $(d, g)$.

Рассмотрим два случая:
1) если $d=g$, получаем собственный открытый интервал $(d, g)$ – это множество, не содержащее ни одного элемента, то есть пустое множество.
2) если $d<g$, то в собственный открытый интервал $(d, g)$ входят все точки, расположенные между $d$ и $g$, но не входят сами точки $d$ и $g$.
Одноточечное множество на числовой прямой открытым интервалом не является.

Пример 1. а) $(3; 3)$ – пустое множество;
b) $(3; 21)$ – непустой собственный открытый интервал.

Определение. Несобственным открытым интервалом называется множество, заданное одним из следующих неравенств: $x<d, x>g$, а также множество всех вещественных чисел.

Пример 2. а) $x > 5$, или $(5; +\infty)$
b) $x < -15$, или $(-\infty; -15)$.

Как собственные, так и несобственные открытые интервалы назовём открытыми интервалами. Открытые интервалы – это “кирпичики”, из которых строятся новые объекты – открытые множества на числовой прямой.

Открытые множества мы определим, как объединения открытых интервалов.
Во-первых, нас будут интересовать в них следующие два свойства:
– объединение открытых множеств открыто;
– пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Во-вторых, нас будет интересовать свойство точек (элементов) открытых множеств, которое заключается в следующем:
– каждая точка входит в открытое множество вместе с некоторым открытым интервалом.
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема.

Теорема. Любая совокупность попарно непересекающихся открытых интервалов на числовой прямой не более чем счетна.

Множество называется не более чем счетным, если оно является подмножеством счетного множества.

Доказательство. Если совокупность непересекающихся открытых интервалов на числовой прямой конечна, то утверждение очевидно. Предположим, что совокупность непересекающихся открытых интервалов на числовой прямой бесконечна. В каждом из открытых интервалов выделим по одному рациональному числу. Множество этих отмеченных рациональных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с интервалами из заданной совокупности и, в то же время, оно счетно, как бесконечное подмножество множества всех рациональных чисел. Таким образом, рассматриваемая совокупность интервалов не более чем счетна.

Пересечение открытых интервалов
Теорема. Если пересечение конечного числа открытых интервалов на числовой прямой непусто, то это пересечение - непустой открытый интервал.

Достаточно рассмотреть пересечение двух открытых интервалов. Если у двух открытых интервалов $(d, g)$ и $(v, w)$ есть хотя бы одна общая точка (для определенности примем $d\leq v$), то $v<g$ и, следовательно, пересечение является открытым интервалом с левым концом в точке $v$, и с правым – в точке $g$ или $w$.
Отметим, что пересечение бесконечного набора открытых интервалов может не быть открытым интервалом. Это иллюстрирует следующий пример.

Пример 3. Рассмотрим пересечение всех открытых интервалов вида $(5-1/n; 5+1/n)$, где $n$ – натуральное число. Это пересечение - одноточечное множество, так как число $5$, и только оно, принадлежит каждому из рассмотренных интервалов. Напомним , что одноточечное множество открытым интервалом не является.

Объединение открытых интервалов
Теорема. Объединение любой совокупности открытых интервалов можно представить как объединение не более чем счетного набора непересекающихся открытых интервалов.

Не доказывая эту теорему, покажем, что объединение двух пересекающихся открытых интервалов – это открытый интервал. Действительно, предположим, что два открытых интервала пересекаются, и выберем из четырех чисел, ограничивающих эти открытые интервалы, наименьшее и наибольшее (обозначим их $d$ и $g$). Легко убедиться, что объединение данных интервалов совпадает с интервалом, заключенным между точками $d$ и $g$.
Таким образом, при объединении открытых интервалов не появляется множеств нового типа.

Пример 4. а) $(6; 10) \cup (7; 12) = (6; 12)$;
b) $(6; 10) \cup (7; 9) = (6; 10)$;
с) $(7; 9) \cup (10; 12)$;
d) пусть $I_a$ – интервал вида $(d-1/2; d)$, где $d$ – положительное число, тогда объединение всех таких интервалов, несобственный открытый интервал $(-1/2; +\infty)$.

Открытые множества на прямой

Определение открытых множеств на прямой

Определение. Объединение совокупности открытых интервалов называется открытым множеством на числовой прямой.

Поскольку открытое множество – это объединение непересекающихся открытых интервалов, то все примеры открытых интервалов и их объединений, приведенные выше, являются примерами открытых множеств, в том числе, пустое множество, множество, состоящее из одного открытого интервала, и множества, включающие несобственные открытые интервалы.

Теорема. Объединение любой совокупности открытых множеств – открытое множество.

Это утверждение почти очевидно, если вспомнить, что открытые множества состоят из открытых интервалов и объединение открытых множеств приводит к объединению открытых интервалов.

Характеристическое свойство открытых множеств вещественных чисел

Теорема. Для того чтобы непустое множество вещественных чисел было открытым, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки этого множества существовал открытый интервал, содержащий эту точку и одновременно содержащийся в этом множестве.

Доказательство. Пусть $M$ – открытое множество. Возьмем в нем любую точку х. Поскольку по определению это открытое множество состоит из открытых интервалов, то точка $x$ принадлежит одному из них, например, $(d, g)$. C другой стороны, по самому своему выбору открытый интервал $(d, g)$ содержится в открытом множестве $M$.
Обратно, пусть нам дано множество $M$, в которое каждая точка входит вместе с некоторым открытым интервалом. Для каждой точки множества $M$ выберем открытый интервал, содержащий ее и входящий в $M$. Рассмотрим открытое множество, полученное объединением всех таких открытых интервалов. Это множество совпадает с $M$. Действительно – оно содержится в $M$ и, в то же время, каждая точка $M$ содержится в нем по построению.

Это свойство настолько важно, что точки, входящие в множество вместе с открытым интервалом, получили специальное название.

Определение. Точка множества называется внутренней, если она входит в это множество вместе с некоторым открытым интервалом.

Теперь можно переформулировать характеристическое свойство открытых множеств.

Непустое множество открыто тогда и только тогда, когда каждая его точка внутренняя.

После введения понятия внутренней точки стало хорошо видно, чем несобственные открытые интервалы родственны собственным. И те и другие состоят только из внутренних точек.

Не все множества вещественных чисел открыты. Как следует из характеристического свойства открытого множества, если непустое множество не открыто, то оно либо не содержит внутренних точек, либо кроме внутренних точек содержит какие-то другие.

Пример 5. а) $\{5\}$ – одноточечное множество, как уже было отмечено, оно не является открытым интервалом и, очевидно, не может быть представлено в виде объединения открытых интервалов;
b) $[5; 8)$ – все точки этого множества, кроме точки $5$, входят в него с некоторым открытым интервалом, а у точки $5$ нет открытого интервала, содержащего эту точку и входящего в данное множество, поэтому множество $[5; 8)$ не открыто;
с) $Z$ – множество всех целых чисел не содержит ни одной внутренней точки и, следовательно, не открыто.

Общая топология отталкивается от свойств открытых множеств вещественных чисел. При этом исключительно важен тот факт, что непустое открытое множество состоит только из внутренних точек.

Пересечение открытых множеств
Теорема. Пересечение конечного числа открытых множеств на числовой прямой - открытое множество.

Доказательство. Достаточно рассмотреть пересечение двух открытых множеств $d$ и $g$ – для случая произвольного конечного набора множеств теорема может быть доказана по индукции.
Если пересечение множеств пусто, то оно открыто (напомним, что пустое множество открыто по определению). Если же это пересечение не пусто, то оно содержит хотя бы одну точку, обозначим ее $x$. Выберем интервалы $I$ и $J$ содержащие точку $x$, и такие, что $I$ содержится в $D$, а $J$ содержится в $G$. Пересечение интервалов $I$ и $J$ является открытым интервалом и входит в пересечение множеств $d$ и $G$, следовательно, $x$ – внутренняя точка пересечения множеств $d$ и $G$. Таким образом, каждая точка этого пересечения – внутренняя, и, как следует из характеристического свойства открытых множеств, пересечение $d$ и $g$ открыто.
Отметим, что конечность числа открытых множеств – важное условие. Как следует из примера 3, при пересечении бесконечного набора открытых множеств результат может быть не открыт.

Основные свойства открытых множеств на числовой прямой.

Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.

Пересечение конечной совокупности открытых множеств открыто.

Множество открыто тогда и только тогда, когда каждая его точка внутренняя.

[AD]

Виктор Викторов в сообщении #203456 писал(а):

Непустое множество открыто тогда и только тогда, когда каждая его точка внутренняя.

Для пустого множества тоже верно

[Виктор Викторов]

Вы правы, но мне хотелось подчеркнуть, что случилось с непустым множеством и получился маленький ляп. Сейчас исправлю.

[AD]

Ну вот я просто представляю себе сейчас, как лекторы наши свои курсы составляют. Вот то что Вы написали - это примерно одна лекция самого первого семестра. Всё излагается аккуратно, последовательно, без пропущеных доказательств. И, главное, является частью большущего курса в примерно 30 лекций (это за 1 семестр, две лекции в неделю), в котором тоже всё аккуратно и последовательно.

[Виктор Викторов]

Это адаптированный кусок текста о начальных понятиях общей топологии. Те, кто хотят весь текст, пришлите Ваш электронный адрес.


Определение топологического пространства

Определение. Рассмотрим множество $T$ и некоторую совокупность его подмножеств. Пусть эта совокупность удовлетворяет следующим условиям.

1. Каждое объединение множеств из этой совокупности (конечное или бесконечное) есть множество той же совокупности.

2. Каждое конечное пересечение множеств из этой совокупности также принадлежит этой совокупности.

3. Все множество $T$ и пустое множество также принадлежат этой совокупности.

Говорят, что на множестве $T$ задана структура топологического пространства, а само множество $T$ называется топологическим пространством. Совокупность его выделенных подмножеств называется открытой топологией, а сами подмножества – открытыми множествами.
На одном и том же множестве можно ввести несколько разных топологий. Если есть две топологии, $Q$ и $P$, заданные на одном и том же множестве, говорят, что топология $Q$ слабее топологии $P$, если каждое множество, открытое в смысле $Q$ открыто и в смысле $P$, но есть некоторое множество, открытое в топологии $P$, и не открытое в топологии $Q$. В этом случае топологию $Q$ называют подтопологией топологии $P$.

Свойства 1-3 называются аксиомами топологии.

Пример 1. a) Совокупность всех открытых интервалов в множестве вещественных чисел и их объединений удовлетворяет условиям 1-3 и, следовательно, задает на числовой прямой структуру топологического пространства. В дальнейшем эту топологию на числовой прямой будем называть стандартной.
б) Рассмотрим множество $\{a, b, c, d\}$. Объявим открытыми множества $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a, b\}$, все пространство $\{a, b, c, d\}$ и пустое множество. Выполнение аксиом топологии проверяется непосредственно. Обратите внимание, что одноэлементные множества $\{a\}$ и $\{b\}$ оказались открытыми.
в) (Топология Зарисского). Рассмотрим произвольное бесконечное множество $X$, и назовем открытыми все его подмножества, дополнение которых конечно, а также пустое множество.
г) Объявим все подмножества некоторого множества открытыми. Это так называемая дискретная топология.
д) Если же в некотором множестве объявить открытыми только само множество и пустое множество, то получится топология, самая “бедная” открытыми множествами – так называемая тривиальная, или антидискретная топология.
е) Множество открытых кругов на плоскости (то есть множество кругов, у которых удалена ограничивающая их окружность), пустое множество, а также совокупность всевозможных объединений этих кругов задают топологию на плоскости. Эту топологию будем называть стандартной топологией плоскости.
ж) Рассмотрим луч $[0; +\infty)$. Совокупность всевозможных лучей вида $(a, +\infty)$, где $a>0$, а также пустое множество и весь луч $[0; +\infty)$ образуют топологию. Это топологическое пространство будем называть стрелкой.

Как следует из аксиомы 3, каждое топологическое пространство является открытым множеством. Таким образом, каждая точка топологического пространства содержится по крайней мере в одном открытом множестве. Но точка может входить и в другие открытые множества.

Определение. Открытое множество, содержащее данную точку топологического пространства, называется открытой окрестностью данной точки.

Обратите внимание на то, что фраза “точка содержится в открытом множестве” означает, что это открытое множество – открытая окрестность данной точки. И наоборот – слова "$V$ – открытая окрестность точки $x$" означают, что $V$ – открытое множество, содержащее точку $x$.
Каждое непустое открытое множество является открытой окрестностью каждой своей точки. С другой стороны, все открытые множества, содержащие данную точку, являются ее открытыми окрестностями.

Внешние, внутренние и граничные точки множества
Рассмотрим классификацию точек топологического пространства относительно некоторого множества $M$ и покажем, что с каждым множеством $M$ можно связать разбиение этого пространства на три подмножества.

Определение. Точка множества $M$ называется его внутренней точкой, если она входит в него с какой-либо своей открытой окрестностью.

Для того, чтобы выяснить, является ли точка внутренней для данного множества, следует ответить на два вопроса:
– принадлежит ли точка множеству;
- если "да", то имеет ли она открытую окрестность, содержащуюся в данном множестве.
Заметим, что в некоторых топологических пространствах точка может оказаться открытым множеством. Такая точка является внутренней для любого множества, ее содержащего.
Пример 2. a) В дискретной топологии открыто каждое множество. В том числе и каждое одноточечное множество.
б) Рассмотрим некоторое множество $X$ с выделенным непустым подмножеством В. Совокупность подмножеств множества $X$, состоящая из всех подмножеств множества $B$, а также самого множества $X$, является топологией. В этой топологии все точки множества $B$ – открытые множества. Эту топологию будем называть $B$-топологией.

Точки, не принадлежащие данному множеству $M$, принадлежат его дополнению и могут оказаться внутренними точками дополнения множества $M$. Итак, если некая точка принадлежит дополнению множества $M$ и существует ее открытая окрестность, входящая в это дополнение, то такая точка является внутренней точкой дополнения. Введем следующее понятие.

Определение. Точка называется внешней точкой множества $M$, если существует открытая окрестность этой точки, не пересекающаяся с множеством $M$.

Таким образом, внешняя точка множества $M$ – это внутренняя точка его дополнения – множества $CM$. С другой стороны, по отношению к дополнению $CM$ внутренние точки множества $M$ являются внешними точками. В определенном смысле внутренние и внешние точки множества схожи друг с другом – каждая из них входит в множество или в его дополнение вместе с открытой окрестностью.
Следовательно, с каждым множеством в топологическом пространстве можно связать множество его внутренних точек и множество его внешних точек. Давайте рассмотрим, какие еще точки могут быть в пространстве. Из всех оставшихся точек ни одна не имеет открытой окрестности, содержащейся в самом множестве или в его дополнении. Но у этих точек, как и у всех точек в топологическом пространстве есть хотя бы одна открытая окрестность. Поскольку открытые окрестности этих точек не могут состоять только из внешних или только из внутренних точек, то в каждой такой открытой окрестности содержатся как точки самого множества, так и точки его дополнения.

Определение. Точка называется граничной точкой множества $M$, если каждая её открытая окрестность содержит как точки множества $M$, так и точки его дополнения $CM$.

Так как, граничная точка множества в каждой своей открытой окрестности содержит как точки множества, так и точки его дополнения, то каждая такая точка одновременно является граничной точкой самого множества $M$, и его дополнения $CM$.
Следует отметить, что граничная точка множества $M$ не обязана ему принадлежать – являясь граничной точкой множества $M$, и его дополнения $CM$ она принадлежит только одному из этих множеств.

Пример 3. а) Рассмотрим в стандартной топологии плоскости множество $M$ - круг с ограничивающей его окружностью и c выколотым центром. Точки окружности и центр - граничные точки множества $M$. При этом точки окружности принадлежат множеству $M$, а центр принадлежит его дополнению.
б) В $B$-топологии (см. пример 2б) каждая точка дополнения множества $B$ является граничной точкой как для множества $B$ так и для его дополнения.
в) Рассмотрим множество $Q$ рациональных точек на числовой прямой. Каждая открытая окрестность каждой точки множества $Q$ содержит как рациональные, так и иррациональные точки. Таким образом, каждая точка множества рациональных чисел - граничная. Заметим, что и все остальные точки числовой прямой являются граничными для множества $Q$.

Итак, каждое множество в топологическом пространстве порождает разбиение пространства на три непересекающихся множества - множество внутренних точек (внешние точки дополнения), множество внешних точек (внутренние точки дополнения) и множество граничных точек (а также его дополнения). Причем каждая граничная точка множества принадлежит либо самому множеству, либо его дополнению.

Обратите внимание на то, что некоторые из этих множеств могут оказаться пустыми. Например, множество $Q$ рациональных точек на числовой прямой не имеет внутренних точек. С другой стороны, само топологическое пространство, рассмотренное как множество, не содержит ни одной внешней и ни одной граничной точки, (поскольку его дополнение пусто). Наконец, отметим, что для пустого множества все точки пространства являются внешними.

Свойства открытых множеств


Свойство 1. Непустое множество открыто тогда и только тогда, когда каждая его точка – внутренняя.

Доказательство. Действительно, каждая точка открытого множества принадлежит ему вместе со своей открытой окрестностью – например, самим множеством, и поэтому должна быть его внутренней точкой.
И наоборот, если все точки множества внутренние, то каждая точка содержится в этом множестве вместе со своей открытой окрестностью. А объединение этих открытых окрестностей и есть само множество, с другой стороны, это объединение открыто по первой аксиоме топологии.

Свойство открытого множества состоять только из внутренних точек может быть переформулировано с помощью понятия граничной точки.

Свойство 2. Множество открыто тогда и только тогда, когда оно не содержит своих граничных точек.

Таким образом, если непустое множество не содержит своих граничных точек, то оно состоит только из внутренних точек.

В общем случае множество может состоять не только из внутренних точек. Но если у множества есть хотя бы одна внутренняя точка, то у этой точки по определению есть хотя бы одна открытая окрестность, которая содержится в этом множестве. Поэтому из существования внутренней точки множества следует существование непустого открытого подмножества данного множества.

То же самое можно выразить немного иначе.

Определение. Назовем множество открытым в данной точке, если у этой точки существует открытая окрестность, входящая в данное множество.

Тогда открытое множество можно охарактеризовать следующим образом.

Свойство 3. Для того, чтобы множество было открыто, необходимо и достаточно, чтобы оно было открыто в каждой своей точке.

Свойство открытости множества в точке эквивалентно свойству точки “быть внутренней точкой” данного множества.

Все вышесказанное суммируется следующим образом: если множество $M$ открыто в некоторой точке (точка – внутренняя для множества), то в нем существует открытое подмножество, содержащее эту точку. С другой стороны, если у множества $M$ существует непустое открытое подмножество, то в каждой точке этого открытого подмножества множество $M$ открыто (каждая из точек этого открытого подмножества – внутренняя).

Открытое ядро множества

Определение. Множество всех внутренних точек множества $M$ называется его открытым ядром и обозначается $<M>$.

Точки прикосновения множества
Теперь рассмотрим все точки, каждая открытая окрестность которых содержит точки данного множества (хотя бы одну). Это либо граничные, либо внутренние точки множества. Напомним, что граничные точки множества могут ему принадлежать, а могут и не принадлежать, в последнем случае они принадлежат его дополнению.

Определение. Точка топологического пространства называется точкой прикосновения множества $M$, если каждая ее открытая окрестность имеет непустое пересечение с множеством $M$.

Понятие точки прикосновения кажется лишним, так как точки прикосновения – это граничные и внутренние точки множества $M$ вместе. Но с помощью этого понятия удается окинуть единым взглядом все точки, имеющие в каждой своей открытой окрестности точки множества $M$.
Замыкание множества
Определение. Множество всех точек прикосновения множества $M$ называется замыканием множества $M$ и обозначается $[M]$.

Пример 6. б) Замыкание круга на плоскости - это замкнутый круг, вне зависимости от того, включены в исходный круг какие-то части ограничивающей окружности или нет.
в) Рассмотрим множество $Q$ рациональных точек на числовой прямой. Поскольку каждый открытый интервал на прямой содержит как рациональные, так и иррациональные точки, то каждая иррациональная точка (как и каждая рациональная точка) является точкой прикосновения множества $Q$. Таким образом, замыкание $Q$ - это вся прямая.

Рассматривая множество точек прикосновения, мы как бы расширяем множество, прибавив к нему точки, “близлежащие к нему”. Вне множества точек прикосновения остались лишь внешние точки, то есть точки, имеющие по крайней мере одну открытую окрестность, не содержащую ни одной точки этого множества.

Граница множества
Определение. Множество всех граничных точек множества $M$ называется его границей.

Классификация граничных точек

Все граничные точки множества $M$ принадлежат его замыканию. Однако тип этих точек в замыкании может отличаться от их типа, как точек множества М.

Пример 2. Рассмотрим в топологии плоскости круг с выколотым центром. Замыкание этого множества – весь круг. Его открытое ядро – внутренность круга без центра, а граница этого множества – окружность и выколотый центр.

Как видно из этого примера, при переходе от множества к его замыканию граничные точки могут вести себя по-разному: одна граничная точка множества (центр круга) переходит во внутреннюю точку замыкания множества, а другие (точки окружности) остаются граничными и для замыкания. В зависимости от того, как ведут себя точки при переходе к замыканию, выделим четыре типа граничных точек.

Лемма. Открытое ядро границы множества совпадает с множеством всех граничных точек, имеющих хотя бы одну открытую окрестность, состоящую только из граничных точек.

Доказательство. Действительно, если граничная точка $X$ имеет открытую окрестность, состоящую только из граничных точек, то каждая точка этой открытой окрестности принадлежит границе, и поэтому вся открытая окрестность входит в границу. Таким образом, точка $X$ – внутренняя точка границы.
И наоборот, если точка $X$ входит в открытое ядро границы, то у нее есть открытая окрестность, которая состоит только из граничных точек.

Пример 4. Рассмотрим на плоскости с декартовой системой координат круг. В этом круге рассмотрим только точки с рациональными координатами. Назовем это множество множеством $M$. Все точки круга являются граничными точками множества $M$ в стандартной топологии плоскости. А круг без ограничивающей его окружности – пример открытого ядра границы.

Определение. Граничная точка множества в топологическом пространстве называется точкой внутреннего топологического дефекта множества, если она не принадлежит открытому ядру границы множества, и если существует открытая окрестность этой точки, содержащая как граничные, так и внутренние точки этого множества, но не содержащая внешних точек.

В примере 2 центр круга является точкой внутреннего топологического дефекта множества.

Определение. Граничная точка множества в топологическом пространстве называется точкой внешнего топологического дефекта множества, если она не принадлежит открытому ядру границы множества, и если существует открытая окрестность этой точки, содержащая как граничные, так и внешние точки этого множества, но не содержащая внутренних точек.

Пример 3. Рассмотрим луч $[0; +\infty)$. Совокупность всевозможных лучей вида $(a, +\infty)$, где $a>0$, а также пустое множество и весь луч $[0; +\infty)$ образуют топологию. Это топологическое пространство будем называть стрелкой. Все точки отрезка $[0; 2]$ являются точками внешнего топологического дефекта множества $[1; 2]$ в топологии стрелки.

Определение. Граничная точка множества в топологическом пространстве называется граничной точкой общего типа, если каждая открытая окрестность этой точки содержит как внешние, так и внутренние точки данного множества.

Точки окружности в примере 2 – это граничные точки общего типа.

Итак, более детальное разбиение топологического пространства относительно множества $M$ выглядит следующим образом:

1) внутренние точки множества
2) внешние точки множества
3) граничные точки множества, которые, в свою очередь, делятся на:
а) граничные точки общего типа
б) точки открытого ядра границы
в) точки внутреннего топологического дефекта
г) точки внешнего топологического дефекта.

Пример 5. Рассмотрим на числовой прямой со стандартной топологией множество $M$, полученное следующим образом: возьмем отрезок $[0; 1]$, все иррациональные точки интервала $(1; 2)$, и добавим к ним все точки последовательности $\{k^2\}$, где $k$ - натуральное число, $k>1$. В разбиении числовой прямой относительно множества $M$ присутствуют точки всех указанных типов:

- внутренние точки множества $M$ - это точки интервала $(0; 1)$,
- внешние точки множества $M$ - это все точки дополнения отрезка $[0; 2]$, кроме точек последовательности $\{k^2\}$,
- точка $0$ - граничная точка общего типа,
- все точки интервала $(1; 2)$ образуют открытое ядро границы,
- точка $1$ является точкой внутреннего топологического дефекта,
- и, наконец, точка $2$ и все точки последовательности $\{k^2\}$ являются точками внешнего топологического дефекта.

[Phoen1x]

В общем, всем спасибо - разобрался =) Просто забыл написать здесь.

[Siropchik]

Виктор Викторов в сообщении #203456 писал(а):

Теорема. Объединение любой совокупности открытых интервалов можно представить как объединение не более чем счетного набора непересекающихся открытых интервалов.

А где можно найти доказательство этой теоремы? В общей топологии?

[niskon]

Siropchik в сообщении #1147892 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #203456 писал(а):

Теорема. Объединение любой совокупности открытых интервалов можно представить как объединение не более чем счетного набора непересекающихся открытых интервалов.

А где можно найти доказательство этой теоремы? В общей топологии?

Прошло 6 лет, а вопрос все еще актуален

[Mikhail_K]

Siropchik в сообщении #1147892 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #203456 писал(а):

Теорема. Объединение любой совокупности открытых интервалов можно представить как объединение не более чем счетного набора непересекающихся открытых интервалов.

А где можно найти доказательство этой теоремы? В общей топологии?

niskon в сообщении #1584187 писал(а):

Прошло 6 лет, а вопрос все еще актуален

Ну, например:
Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа,
гл. 2 "Метрические и топологические пространства", $\S$2 "Сходимость. Открытые и замкнутые множества", пп.4-5 ("Открытые и замкнутые множества", "Открытые и замкнутые множества на прямой").

[krum]

П С Александров Введение в теорию множеств и общую топологию

[Padawan]

Siropchik в сообщении #1147892 писал(а):

А где можно найти доказательство этой теоремы? В общей топологии?

Введем отношение $x\sim y$ если отрезок $[x,y]$ целиком лежит во множестве. Докажите, что это отношение эквивалентности, а классы эквивалентности -- интервалы. Счётность очевидна (выберем в каждом интервале по рац.точке).

[ewert]

niskon в сообщении #1584187 писал(а):

Прошло 6 лет, а вопрос все еще актуален

Для каждой рациональной точки $x\in A$ введите максимальный интервал, содержащий эту точку. Имеется в виду интервал $(\alpha_x;\beta_x)$, где $\alpha_x=\inf\{y\in A\colon\;[y;x]\subset A\}$ и $\beta_x=\sup\{z\in A\colon\;[x;z]\subset A\}$. Тогда всё сводится к трём довольно очевидным утверждениям: 1) эти интервалы содержатся в$A$, 2)каждая точка из $A$ входит в хотя бы один из этих интервалов и 3) любые два таких интервала или совпадают, или не пересекаются.

Padawan в сообщении #1584230 писал(а):

Счётность очевидна (выберем в каждом интервале по рац.точке).

Нехорошо. Это отсылка к аксиоме полного выбора, а она тут не нужна.

[Doctor Boom]

Виктор Викторов в сообщении #202040 писал(а):

И тут как придется: в несвязном пространстве может оказаться и одновременно открытым (представьте себе два непересекающихся круга без окружностей: каждый круг открыто-замкнутое множество).

А поподробнее? Каждый круг же не содержит свои предельные точки, т.е. будет незаменутым. Какие еще есть примеры одновременно открытых и замкнутых множеств в $R$? Ну кроме самого $R$ и пустого множества