Классификация конечномерных диассоциативных алгебр над С

[Икром]

Диассоциативные алгебры, это век. прост с двумя бинарными операциями. Обе операции ассоциативны. Я хочу классифицировать (я уже начал) конечномерные комплексные диассочиативные алгбры. А для этого мне нужень полый списиок ассоциативных алгебр (с единицей и без единичы, 3-мерные, 4-мерные). Кто мне подскажет где я могу найти этот список алгебр. (Я классифицировал 3- мерных ассоч алгебр, я хочу уточнить мою классификацию, размерности 4-5 неплохо был бы если найду).
Задарее спасибо.

[bot]

Икром в сообщении #201066 писал(а):

Диассоциативные алгебры, это век. прост с двумя бинарными операциями.

Не понял. Ассоциативную алгебру над полем можно рассматривать как векторное пространство. А у Вас две бинарные операции - это как?

Типа на одном и том же множестве заданы две ассоциативные операции и Вам захотелось рассматривать их вместе в рамках одной "диассоциативной алгебры"? Без всякой связи между ними?

Ассоциативных алгебр размерности $n$ с точностью до изоморфизма и антиизоморфизма существует оценочно столько, сколько есть $n-$элементных полугрупп с точностью до того же самого, неоднозначность выбора базиса вряд ли способно, во всяком случае серьёзно изменить эту верхнюю оценку. Для $n=3$ их 28 (если не запамятовал), для $n=4$ ровно 126 (это помню точно), для $n=5$ - более 1000.
Тэ-э-кс, трёхразмерных тогда будет где-то между $28^2$ и $28\cdot 56$ - это зависит от количества коммутативных полугрупп 3-го порядка...

Вы уж меня извините, но это какой-то бред, допускаю что это мой бред, но тогда он вызван Вашим описанием проблемы, описание которой по своей непонятности конкурирует с краткостью.

[Икром]

mr . Bot.
спасибо за теплый пожелание.
Насколько я понел надо была привести полное определения диассоциативной алгебры.
Значит так:
Диассоциативной алгеброй (или кратко диалгеброй) называется векторное пространство D над полем К с двумя К-билинейными отображениями обозначаемые
┤:DxD D и ├:DxD D
которые удовлетворяют следующими условиями:
1. (x┤y)┤z=x┤(y┤z)
2. (x┤y)┤z=x┤(y├z)
3. (x├y)┤z=x├(y┤z)
4. (x┤y)├z=x├(y├z)
5. (x├y)├z=x├(y├z)
для любых x,y,z иp D
Отображения ┤ и ├ называются левым и правым произведением, соответственно.
видна что обе произведение ассоциаивны. Диассоцтативные алгебры являются обобшениями ассоциативных. (типа алгебры Лейбница является обобщениями алгебр ЛИ.) В диасс. алг.
( D, ┤,├) когда ┤ = ├ произведение совподают мы получим ассоциативную алгебру.
Имея список (таблицу умножение базисных элементов) ассоциативную алгебру можно будеть классифицировать конечномерных диассоциативных алгебр над полем комплексных чисел. Извените меня мне не надо количества алгебр и так известно. Мне надо полных список (таблица умножение базисных элементов) конечномерных комплексных ассоциативных алгебр (и с единицей и без единиц, ВСЕ). n=3( я имею надо проверить), n=4(имею только алг. с единицей), n=5 (имею только алг. с единицей),..

[ddn]

Икром писал(а):

Диассоциативной алгеброй (или кратко диалгеброй) называется векторное пространство D над полем К с двумя К-билинейными отображениями обозначаемые
┤$:D\times D\to D$ и ├$:D\times D\to D$
которые удовлетворяют следующими условиями:
1. (x┤y)┤z=x┤(y┤z)
2. (x┤y)┤z=x┤(y├z)
3. (x├y)┤z=x├(y┤z)
4. (x┤y)├z=x├(y├z)
5. (x├y)├z=x├(y├z)
для любых x,y,z иp D
Отображения ┤ и ├ называются левым и правым произведением, соответственно видно, что обе произведение ассоциативны. Диассоциативные алгебры являются обобщениями ассоциативных.

Странный у Вас набор условий.
И интересно, что значит билинейные? Откуда здесь билинейность?

Взаимная ассоциативность системы $n$ бинарных операций (без всяких "правых" и "левых") на алгебре $A$ сводиться к следующей $0$-ой группе из $n^2$ независимых правил:
№ правила $(i-1)n+j$
$x\circ_{i}(y\circ_{j}z)=(x\circ_{i}y)\circ_{j}z$,
где $1\leqslant i,j\leqslant n$.

Эти правила позволяют произвольно менять расстановку скобок $P$ в любых произведениях:
$P\left(\left\{x_k\circ_{i_k}\right\}\limits_{k=1}^{m-1}x_m\right)=\tilde P\left(\left\{x_k\circ_{i_k}\right\}\limits_{k=1}^{m-1}x_m\right)$,
где $1\leqslant i_k\leqslant n|_{k=1}^{m-1}$.

Для двух ваших операций ┤ и ├ (ужасные обозначения!!!) это дает:
№ $1.\ $ x┤(y┤z)=(x┤y)┤z,
№ $2.\ $ x┤(y├z)=(x┤y)├z,
№ $3.\ $ x├(y┤z)=(x├y)┤z,
№ $4.\ $ x├(y├z)=(x├y)├z (по моей нумерации)
- из них у Вас присутствуют № 1, 3 и 4. Почему нет правила № 2?
Если только операции ┤ и ├ не положены взаимно симметричными: x┤y=y├x - тогда № 2 и № 3 выводится друг из друга, также как № 1 и № 4 (и вообще, тогда одну из операций следует выразить через другую).


Более того, у Вас имеются правила ассоциативности с заменами операций:
$2.\ $ (x┤y)┤z=x┤(y├z),
$4.\ $ (x┤y)├z=x├(y├z),
(по вашей нумерации). Почему только такие варианты?

Полная взаимозаменимость для произведений из трех множителей системы $n$ бинарных операций на алгебре $A$ сводиться к двум группам по $\frac{n^2\cdot(n^2-1)}{2}$ зависимых правил:
№ правила $\frac{((i-1)n+j-1)((2n-i+1)n-j-2)}{2}+(i'-1)n+j'-1$
$(x\circ_{i}y)\circ_{j}z=(x\circ_{i'}y)\circ_{j'}z\ $ - $\mathrm{I}$-я группа правил, и
$x\circ_{i}(y\circ_{j}z)=x\circ_{i'}(y\circ_{j'}z)\ $ - $\mathrm{II}$-я группа правил,
где $(1\leqslant i=i'\leqslant n)\wedge(1\leqslant j<j'\leqslant n)$ либо $(1\leqslant i<i'\leqslant n)\wedge(1\leqslant j,j'\leqslant n)$ для каждой группы.

Положив $i=j=1$, получим по $n^2-1$ независимых правил в группах $\mathrm{I}$ и $\mathrm{II}$:
№ правила $(i'-1)n+j'-1$
$(x\circ_{1}y)\circ_{1}z=(x\circ_{i'}y)\circ_{j'}z\ $ - $\mathrm{I}$-я группа правил,
$x\circ_{1}(y\circ_{1}z)=x\circ_{i'}(y\circ_{j'}z)\ $ - $\mathrm{II}$-я группа правил,
где $(i'=1)\wedge(1<j'\leqslant n)$ либо $(1<i'\leqslant n)\wedge(1\leqslant j'\leqslant n)$.

Эти правила позволяют произвольно заменять операции в любых произведениях с тремя и более множителями ($m\geqslant 3$) без перестановки скобок:
$P\left(\left\{x_k\circ_{i_k}\right\}\limits_{k=1}^{m-1}x_m\right)=P\left(\left\{x_k\circ_{i_k'}\right\}\limits_{k=1}^{m-1}x_m\right)$,
где $1\leqslant i_k,i_k'\leqslant n|_{k=1}^{m-1}$.


Объединим свойства.
Взаимная ассоциативность и полная взаимозаменимость для произведений из трех множителей системы $n$ бинарных операций на алгебре $A$ сводиться к $\mathrm{III}$-ей группе из $n^4$ зависимых правил:
№ правила $(i-1)n^3+(j-1)n^2+(i'-1)n+j'$
$x\circ_{i}(y\circ_{j}z)=(x\circ_{i'}y)\circ_{j'}z$,
где $1\leqslant i,j,i',j'\leqslant n$.
Из правил $\mathrm{III}$-ей группы (включающей правила $0$-ой группы) тривиально выводятся правила $\mathrm{I}$-ой и $\mathrm{II}$-ой групп.

Положив отдельно $i=j=1$ и отдельно $i'=j'=1$, получим $2n^2-1$ независимых правил в группе $\mathrm{III}$:
№ правила $(i'-1)n+j'$
$x\circ_{1}(y\circ_{1}z)=(x\circ_{i'}y)\circ_{j'}z$,
№ правила $(n+i-1)n+j-1$
$x\circ_{i}(y\circ_{j}z)=(x\circ_{1}y)\circ_{1}z$,
где $1\leqslant i',j'\leqslant n)$, а также $(i=1)\wedge(1<j\leqslant n)$ либо $(1<i\leqslant n)\wedge(1\leqslant j\leqslant n)$.

Эти правила позволяют произвольно менять расстановку скобок в любых произведениях и заменять операции в любых произведениях с тремя и более множителями ($m\geqslant 3$):
$P\left(\left\{x_k\circ_{i_k}\right\}\limits_{k=1}^{m-1}x_m\right)=\tilde P\left(\left\{x_k\circ_{i_k'}\right\}\limits_{k=1}^{m-1}x_m\right)$,
где $1\leqslant i_k,i_k'\leqslant n|_{k=1}^{m-1}$.

Для двух операций ┤ и ├ дает $7=2\cdot 2^2-1$ независимых правил (из $16=2^4$ зависимых):
№ $1.\ $ x┤(y┤z)=(x┤y)┤z,
№ $2.\ $ x┤(y┤z)=(x┤y)├z,
№ $3.\ $ x┤(y┤z)=(x├y)┤z,
№ $4.\ $ x┤(y┤z)=(x├y)├z,
№ $5.\ $ x┤(y├z)=(x┤y)┤z,
№ $6.\ $ x├(y┤z)=(x┤y)┤z,
№ $7.\ $ x├(y├z)=(x┤y)┤z (по моей нумерации).
В такой же форме у Вас присутствует правило № 1 (по-вашему тоже № 1) и № 5 (п.-в. № 2).
Но двух правил у Вас недостает.
Можно выбрать и другой набор из 7 независимых правил:
первые 4 из $0$-ой группы обеспечивают несущественность расстановки скобок без изменения операций:
№ $1'.\ $ x┤(y┤z)=(x┤y)┤z (п.-в. № 1),
№ $2'.\ $ x┤(y├z)=(x┤y)├z,
№ $3'.\ $ x├(y┤z)=(x├y)┤z (п.-в. № 3),
№ $4'.\ $ x├(y├z)=(x├y)├z (п.-в. № 5)
остальные 3 правила взять с явной заменой операций, чтобы связать 4 различных произведения из двух операций - x┤y┤z, x┤y├z, x├y┤z и x├y├z, (учитывая эквивалентность, даваемую № 1'..4', есть 8 вариантов выбора правил), например такой:
№ $5'.\ $ x┤y┤z=x┤y├z скажем x┤(y├z)=(x┤y)┤z (п.-в. № 2),
№ $6'.\ $ x┤y├z=x├y├z скажем x├(y├z)=(x┤y)├z (п.-в. № 4),
№ $7'.\ $ x┤y┤z=x├y┤z скажем x├(y├z)=(x├y)┤z,
(последним правилом мы включили в тождества комбинацию x├y┤z через x┤y┤z).
Оставив № 5' и 6' (п.-в. № 2 и 4), можно рассмотреть еще два варианта для № $7'$:
либо № $7''.$ x┤y├z=x├y┤z скажем x┤(y├z)=(x├y)┤z,
либо № $7'''.$ x├y┤z=x├y├z скажем x├(y┤z)=(x├y)├z,
(включили комбинацию x├y┤z через x┤y├z и x├y├z).
Вашу систему правил № 1', 3'..6' (п.-в. № 1..5) следует дополнить еще двумя правилами,
№ 2' и 7' (п.-в. № 7 и 6): п.-в.
$1.\ $ x┤(y┤z)=(x┤y)┤z $\ (№ 1'$),
$2.\ $ x┤(y├z)=(x┤y)┤z $\ (№ 5'$),
$3.\ $ x├(y┤z)=(x├y)┤z $\ (№ 3'$),
$4.\ $ x├(y├z)=(x┤y)├z $\ (№ 6'$),
$5.\ $ x├(y├z)=(x├y)├z $\ (№ 4'$),
$6.\ $ x├(y├z)=(x├y)┤z $\ (№ 7'$),
$7.\ $ x┤(y├z)=(x┤y)├z $\ (№ 2'$).



Что мы можем сказать о таких операциях?
Как-то давно я обдумывал этот вопрос.
Кое какие результаты тривиальны... и не вполне радостны (для Вас).


Путь для системы $n$ бинарных операций имеет место их полная взаимозаменимость для трех (и более) множителей (взаимная ассоциативность и просто ассоциативность необязательны), что дается $\mathrm{I}$-ой и $\mathrm{II}$-ой группами правил.

Если хотя бы один из двух элементов $x$ и $y$ алгебры разложим (то есть $\exists j\in\bar n\exists z,w(x=w\circ_{j})z\vee y=w\circ_{j})z$ ), например есть его левая или правая единица, то для любых операций $\circ_{i}$ и $\circ_{i’}$ имеет место $x\circ_{i}y=x\circ_{i'}y$. Дей-но:
$x\circ_{i}y=(w\circ_{j}z)\circ_{i}y=(w\circ_{j}z)\circ_{i'}y=x\circ_{i'}y$ или же
$x\circ_{i}y=x\circ_{i}(w\circ_{j}z)=x\circ_{i'}(w\circ_{j}z)=x\circ_{i'}y$.
Отсюда, если все элементы алгебры разложимы, то для любых операций $\circ_{i}$ и $\circ_{j}$ имеет место тождество $x\circ_{i}y=x\circ_{i'}y$, то есть все $n$ бинарных операций ТОЖДЕСТВЕННЫ! То есть имеет место всего одна операция.
Если какая-то операция является групповой, полугрупповой, или если у нее есть правая или левая единица - все операции алгебры совпадают.
Нетривиальным может оказаться только случай наличия полностью неразложимых элементов, когда объединение образов всех пар элементов ото всех операций не совпадает с алгеброй:
$\bigcup\limits_{i=1}^{n}(\circ_{i})[A^2]\subset A$.


Путь для системы $n$ бинарных операций имеет место их взаимная ассоциативность (и, в частности, просто ассоциативность), что дается $0$-ой группой правил.

Если для двух операций $\circ_{i}$ и $\circ_{j}$ алгебры существует элемент $e$ алгебры, который является левой единицей для одной и правой единицей для другой операции, то эти операции совпадают $\circ_{i}\equiv\circ_{j}$. Дей-но:
из $e\circ_{i}z=z$ и $z\circ_{j}e=z$ следует $x\circ_{i}y=(x\circ_{j}e)\circ_{i}y=x\circ_{j}(e\circ_{i}y)=x\circ_{j}y$
а из $z\circ_{i}e=z$ и $e\circ_{j}z=z$ следует $x\circ_{i}y=x\circ_{i}(e\circ_{j}y)=(x\circ_{i}e)\circ_{j}y=x\circ_{j}y$.

В нетривиальном случае в алгебре может быть только единая (для всех операций) общая (для элементов) левая единица, не являющаяся общей правой ни для одной операции (и наоборот).
Нетривиальный случай, когда все операции групповые (с разными единицами, конечно), допустим.

[bot]

Ага, взаимосвязь между операциями всё же есть. Однако как и ddn она мне показалась странной. Да пусть даже и такая - какую можно ожидать классификацию?
Каждая из операций задаёт лишь умножение базисных элементов, далее эти умножения стандартно продолжаются по билинейности. Даже положим эти две операции совпадают, что не отвергается наложенными связями - к чему сводится вопрос? Да по сути надо перечислить все полугруппы заданного порядка с точностью до изоморфизма и антиизоморфизма. Соединение двух ассоциативных операций способно лишь увеличить число таких алгебр и без того не малое.
Не понимаю такой постановки вопроса.

P.S.

bot в сообщении #201099 писал(а):

Для $n=3$ их 28 (если не запамятовал),

Запамятовал - их 18.

[Икром]

Так. Dnn!
пробема не в том что, менять расстановки скобок и рассматриват всевозможные варианты с двумя умножениями (обозначение как по вашему мненью УЖАСНЫЕ, были введены франц. мат-ом J-L.Loday. Dialgebas. 2001. SEE to this paper: Loday J.-L., Frabetti A., Chapoton F., Goichot F. Dialgebras and Related Operads. Lecture Notes in Math, 1763, 2001, p.133. ).
Никто не говорят что увас имя DNN отвратительное. be careful.
В книге Джекобсон Н. Алгебры Ли была классифицирована алгебры Ли в малых размерностях. Структурная теория алгебр Ли это одно из бурно развивющейся разделов современной алгебры. J-L.Loday. ввел некое обобщения алгебр Ли , которые получили название алгебрами Лейбница. (Струк. теория алг Лейбница изучается в многих научных школах, и в том числе в Ташкенте).
А диассоциативные алгебры это не только набор всевозможных ассоц. тождеств. Это алгебра с двумя операциями и с 5 тождествами которые яв-ся обобщениями ассоц. алгебр и тесно связаны с алгебрами Лейбница т.е. если мы введем в диассоциативных алгебрах новое умножения (типа из ассоц алг была получена алгебры Ли вводя новое умножения, коммутатор (а,b)=ab-ba) и верна теорема Пуан каре Бирхофта Витта.
Если в диассоц алгебрах введем новое уможение (х,у)=х┤у-у├х то мы получим алг Лейбница.
при первой стадии изучения определеного класса алгебр, первоочередной задачей яв-ся нахождение достаточно количества примеров характерных для этого класса алгебр.
такие примеры можна найти при классификации алгебр в малых размерностях над каким-то полем (пусть комплексное) .
Для классификации диассоциативных алгебр НУЖНЫ список ассоциативных. Если вы знайте полный список (с 1 и без 1) 3, 4, 5 мерных ассоц алгебр (таблица умножения базисных элементов) и это то что мне нужно. а не набор скобок.





Mr. BOT.
Я не совнимаюсь на ваше мат знание и мат культуру но, я думаю не обязательно было ТЕПЛО выражатся.
Посмотрите статьи и другие и изучайте матчасть диассоц алг. вдруг вас РАЗБУДЯТ ночью, и скажет, вам тем более сказать нечего, проф.!

Jnrty:

Предупреждение за обсуждение и искажение (правильно - ddn и bot) псевдонимов и подписей участников форума. Обратите внимание, что обсуждение удобства и читаемости обозначений правилами форума не запрещается, а вот обсуждать (за исключением раздела "Свободный полёт") и искажать псевдонимы нельзя (пункт 1д). Вы нарушаете также и пункт 1к.

[bot]

Икром в сообщении #203613 писал(а):

Если вы знайте полный список (с 1 и без 1) 3, 4, 5 мерных ассоц алгебр (таблица умножения базисных элементов) и это то что мне нужно. а не набор скобок.

В принципе их можно на компьютере сосчитать - возможности несопоставимы с БЭСМ-6, на которой я считал полугруппы порядка 5, когда мне они понадобились, а доступна была только
G. E. Forsythe, SWAC computes 126 distinct semigroups of order 4, Proc. Amer. Math. Soc. 6, (1955). 443-447.

А теперь можно посмотреть до 7-го порядка здесь:
H. Juergensen and P. Wick, Die Halbgruppen von Ordnungen <= 7, Semigroup Forum, 14 (1977), 69-79

Пятого порядка их 1160 - впечатляюсь Вашим оптимизмом.

Икром в сообщении #203613 писал(а):

Посмотрите статьи и другие и изучайте матчасть диассоц алг.

Я к ним равнодушен.